Ce cours sur les nombres complexes MPSI MP2I est conforme au programme des classes prépa de la filière MPSI et la filière MP2I. On vous propose également une série exercices corrigés sur les nombres complexes.
1) C’est quoi l’ensemble des nombres complexes ?
- On admet l’existence d’un élément noté i vérifiant i^{2}=-1.
- On appelle ensemble des nombres complexes et on note \mathbb{C}, l’ensemble défini par : \mathbb{C}=\{a+i b / a, b \in \mathbb{R}\}.
- On admet que l’addition et la multiplication dans \mathbb{R} prolongent ceux de \mathbb{C}. Les règles de calculs restent valables dans \mathbb{C}.
2) Partie réelle, partie imaginaire d’un nombre complexe
On admet que tout nombre complexe \mathrm{z} s’écrit de manière unique z=a+i b avec (a, b) \in \mathbb{R}^{2}.
Dans ce cas :
- L’écriture z=a+i b est appelée forme algébrique du nombre complexe z.
- Le réel a est appelé partie réelle de \mathrm{z}, on le note \operatorname{Re}(\mathrm{z}).
- Le réel b est appelé partie imaginaire de z, on le note Im(z).
- Lorsque a=0, \mathrm{z} est dit imaginaire pur. On note i \mathbb{R} l’ensemble des nombres imaginaires purs.
On pose \mathrm{z}=(2+i)(1-i). Ce qui fait z=2-2 i+i+1=3-i.
Par conséquent on a :
- \operatorname{Re}(z)=3.
- \operatorname{Im}(z)=-1.
- L’écriture algébrique de z est 3-i
Remarque (Égalité de deux nombres complexes) :
Deux nombres complexes sont égaux si et seulement si ils ont la même partie imaginaire et la même partie réelle. Autrement dit :
\forall z, z^{\prime} \in \mathbb{C}, z=z^{\prime} \Leftrightarrow \begin{cases} Re(z)=Re(z^{\prime}) \\ Im(z)=Im(z^{\prime}) \end{cases} .
3) Conjugué d’un nombre complexe
Soit z \in \mathbb{C}. On appelle conjugué de z et on note \bar{z} le nombre complexe défini par : \bar{z}=\operatorname{Re}(z)-i \operatorname{Im}(z).
Propriétés de la conjugaison :
Soit z, z_{1}, z_{2} trois nombres complexes, on a :
i) \overline{z_{1}+z_{2}}=\overline{z_{1}}+\overline{z_{2}}
ii) \bar{{\bar{z}}}=\mathrm{z}
iii) \overline{z_{1} z_{2}}=\overline{z_{1}} \overline{z_{2}}
iv) \forall n \in \mathbb{N}, \overline{z^{n}}=\bar{z}^{n}
v) \operatorname{Si} z_{2} \neq 0 alors \overline{\left(\frac{z_{1}}{z_{2}}\right)}=\frac{\overline{z_{1}}}{\overline{z_{2}}}
vi) \operatorname{Re}(\mathrm{z})=\frac{\mathrm{z}+\overline{\mathrm{z}}}{2} et \operatorname{Im}(z)=\frac{z-\bar{z}}{2 i}
vii) z \in \mathbb{R} \Leftrightarrow z=\bar{z}
viii) z \in i\mathbb{R} \Leftrightarrow z=-\bar{z}
Pour tout z \in \mathbb{C} \backslash\{-1\}, on pose f(z)=\frac{\mathrm{z}-1}{z+1}.
Déterminer une condition nécessaire et suffisante sur z pour que f(z) soit réel.
4) Le plan complexe
L’application \rho: \underset{(a, b) \rightarrow a+i b}{\mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{C}} est bijective.
Interprétation géométrique :
- Grâce à la bijection \rho: \underset{(a, b) \rightarrow a+i b}{\mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{C}}, on peut identifier \mathbb{C} avec \mathbb{R}^{2}. Autrement dit, on peut voir l’ensemble des nombres complexes comme un plan.
- On appelle plan complexe le plan P muni d’un repère orthonormé directe R=(0, \vec{u}, \vec{v}).
- À tout nombre complexe z qui s’écrit sous la forme algébrique z=a+i b, on associe un unique point \mathrm{M} du plan de coordonnées (a, b) dans le repère R et un unique vecteur \vec{w} de coordonnées (a, b) dans la base (\vec{u}, \vec{v}).
On dit que z est l’affixe du point M et du vecteur \vec{w}, et on écrit M(z) et \vec{w}(z).
1) C’est quoi le module d’un nombre complexe ?
Soit z \in \mathbb{C}. On appelle module de z et on note |z|, le nombre réel positif |z|=\sqrt{\operatorname{Re}(z)^{2}+\operatorname{Im}(z)^{2}}.
2) Interprétation géométrique du module d’un nombre complexe
Soit z, z_{A}, z_{B} trois nombres complexes et \left.r \in\right] 0,+\infty[.
On écrit z, z_{A}, z_{B} sous leurs formes algébriques z=a+i b, z_{A}=x_{A}+i y_{A} et z_{B}=x_{B}+i y_{B} et on considère dans le plan complexe les points M(z), A\left(z_{A}\right) et B\left(z_{B}\right).
Dans le plan P muni d’un repère orthonormé direct R=(0, \vec{u}, \vec{v}) les coordonnées des points M, A et B sont respectivenent (a, b),\left(x_{A}, y_{A}\right) et \left(x_{B}, y_{B}\right).
Donc \overrightarrow{O M}(a, b), O M=\|\overrightarrow{O M}\|=\sqrt{a^{2}+b^{2}}=|z|
\operatorname{Et} \overrightarrow{A B}\left(x_{B}-x_{A}, y_{B}-y_{A}\right) donc A B=\|\overrightarrow{A B}\|=\sqrt{\left(x_{B}-x_{A}\right)^{2}+\left(y_{B}-y_{A}\right)^{2}}=\left|z_{B}-z_{A}\right|
L’ensemble des points M d’affixe z tels que :
- \left|z-z_{A}\right|=r est le cercle de centre A et de rayon r.
- \left|z-z_{A}\right| \leqslant \mathrm{r} est le disque fermé de centre A et de rayon \mathrm{r}.
- \left|z-z_{A}\right|<r est le disque ouvert de centre \mathrm{A} et de rayon \mathrm{r}.
3) Propriétés du module d’un nombre complexe
Soit z, z’ \in \mathbb{C}, On a :
i) |z|^{2}=\mathrm{z} \bar{z}
ii) |z|=0 \Leftrightarrow z=0
iii) |\bar{z}|=|z|
iv) |\operatorname{Re}(z)| \leqslant|z| et |\operatorname{Im}(z)| \leqslant|z|
v) \left|z z^{\prime}\right|=|z| \cdot\left|z^{\prime}\right|
vi) \forall n \in \mathbb{N},\left|z^{n}\right|=|z|^{n}
vii) si z^{\prime} \neq 0 alors \begin{cases}\left|\frac{1}{z^{\prime}}\right|=\frac{1}{\left|z^{\prime}\right|}\\ |\frac{z}{z^{\prime}}|=\frac{|z|}{|z^{\prime}|}\end{cases}.
4) Inégalité triangulaire
Soit z, z^{\prime} \in \mathbb{C}. On a :
i) \quad\left|z+z^{\prime}\right| \leq|z|+\left|z^{\prime}\right|
Cas d’égalité dans l’inégalité triangulaire :
ii)
\quad\left|z+z^{\prime}\right|=|z|+\left|z^{\prime}\right| \Leftrightarrow \exists k \in \mathbb{R}^{+}, z=k z^{\prime} ou z^{\prime}=k z. On dit que z et z^{\prime} sont positivement liés.
Généralisation de l’inégalité triangulaire
\forall n \in \mathbb{N}^{*}, \forall\left(z_{1}, \ldots, z_{n}\right) \in \mathbb{C}^{n},\left|\sum_{k=1}^{n} z_{k}\right| \leqslant \sum_{k=1}^{n}\left|z_{k}\right|Seconde inégalité triangulaire
Soit z, z^{\prime} \in \mathbb{C}. On a : ||z|-| z^{\prime}|| \leq\left|z-z^{\prime}\right|
Interprétation géométrique de l’inégalité triangulaire
Soit z, z' deux nombres complexes. Dans le plan complexe on considère les points M, M^{\prime} d’affixes respectifs \mathrm{z},-z^{\prime}.
On a alors : \overrightarrow{O M}(z), \overrightarrow{O M^{\prime}}\left(-z^{\prime}\right), \overrightarrow{M^{\prime} M}\left(z+z^{\prime}\right).
\left|z+z^{\prime}\right| \leq|z|+\left|z^{\prime}\right| signifie que MM' \leqslant O M+O M^{\prime}. Donc l’inégalité triangulaire traduit le fait que dans un triangle, la longueur d’un côté est inférieure à la somme des longueurs des deux autres côtés.
1) L’ensemble des nombres complexes de module 1
- L’ensemble des nombres complexes de module 1 est noté \mathbb{U} .
- \mathbb{U} est l’ensemble des affixes des points du cercle trigonométrique.
Propriétés des nombres complexes de module 1 :
- \forall z \in \mathbb{C}, z \in \mathbb{U} \Leftrightarrow \frac{1}{z}=\bar{z}
- \mathbb{U} est stable par produit et par passage à l’inverse.
Définition :
Pour tout réel \theta, on pose e^{i \theta}=\cos (\theta)+i \sin (\theta).
Proposition :
\mathbb{U}=\left\{e^{i \theta} / \theta \in \mathbb{R}\right\}Proposition :
\forall \theta, \theta^{\prime} \in \mathbb{R}, e^{i \theta}=e^{i \theta^{\prime}} \Leftrightarrow \theta \equiv \theta^{\prime}[2 \pi].
Proposition :
i) \forall \theta, \theta^{\prime} \in \mathbb{R}, e^{i\left(\theta+\theta^{\prime}\right)}=e^{i \theta} e^{i \theta^{\prime}}.
ii) \forall \theta, \theta^{\prime} \in \mathbb{R}, e^{-i \theta}=\frac{1}{e^{i \theta}}=\overline{e^{i \theta}}
Déterminer la valeur de \cos \left(\frac{7 \pi}{12}\right) et de \sin \left(\frac{7 \pi}{12}\right).
2) Formule de Moivre
\forall \theta \in \mathbb{R}, \forall n \in \mathbb{Z}, e^{i n \theta}=\left(e^{i \theta}\right)^{n}. Autrement dit, \forall \theta \in \mathbb{R}, \forall n \in \mathbb{Z},(\cos \theta+i \sin \theta)^{n}=\cos (n \theta)+i \sin (n \theta).
3) Formule d’Euler
\forall \theta \in \mathbb{R}, on a : \cos \theta=\frac{e^{i \theta}+e^{-i \theta}}{2} et \sin \theta=\frac{e^{i \theta}-e^{-i \theta}}{2 i}
Pour x \in \mathbb{R}, linéariser les expressions :
i) \cos x \cdot \sin ^{2} x
ii) \sin ^{4} x
Pour tout x \in \mathbb{R}, transformer \cos (3 x) en un polynôme en \cos (x).
1) C’est quoi la forme exponentielle des nombres complexes ? C’est quoi un argument d’un nombre complexe non nul ?
\forall z \in \mathbb{C}^{*}, \exists !r \in ]0,+\infty[,\exists \theta \in \mathbb{R}, z=r e^{i \theta}.
Dans ce cas on a :
- r=|\mathrm{z}|
- r e^{i \theta} est dite écriture exponentielle ou (trigonométrique) de z .
- Un tel réel \theta est appelé un argument de z. On note \arg (z) \equiv \theta[2 \pi].
Remarque :
- Si \theta est un argument de z alors l’ensemble des arguments de z est \{\theta+2 k \pi / k \in \mathbb{Z}\}
- Tout nombre complexe non nul z possède un argument unique dans ]-\pi, \pi]. On l’appelle argument principal de z.
- \forall z_{1}, z_{2} \in \mathbb{C}^{*}, z_{1}=z_{2} \Leftrightarrow\begin{cases}|z_{1}|=|z_{2}|\\ \arg (\mathrm{z}_{1}) \equiv \arg (z_{2})[2 \pi]\end{cases}.
Propriétés de l’argument d’un nombre complexe non nul :
Soit z, z^{\prime} \in \mathbb{C}^{*}. On a :
i) \arg \left(\mathrm{zz}^{\prime}\right) \equiv \arg (z)+\arg \left(z^{\prime}\right)[2 \pi].
ii) \arg \left(\frac{z}{z^{\prime}}\right) \equiv \arg (z)-\arg \left(z^{\prime}\right)[2 \pi].
iii) \arg (\bar{z}) \equiv \arg \left(\frac{1}{\mathrm{z}}\right)[2 \pi] \equiv-\arg (\mathrm{z})[2 \pi]
iv| \forall m \in \mathbb{N}, \arg \left(z^{n}\right) \equiv n \cdot \arg (\mathrm{z})[2 \pi].
2) Transformation de a \cos t +b \sin t en A \cos (t-\varphi)
Soit (a, b) \in \mathbb{R}^{2} \backslash\{(0,0)\}.
\exists(A, \varphi) \in] 0,+\infty[\times \mathbb{R}, \forall t \in \mathbb{R}, a \cos (t)+b \sin (t)=A \cos (t-\varphi), avec A=|a+i b| et \varphi=\arg (a+i b)[2 \pi].
Remarque :
En physique et en sciences d’ingénieur, une fonction du type t \mapsto a \cos (t)+b \sin (t) est appelée signal sinusoïdal, A est appelée amplitude du signal et \varphi sa phase.
\forall t \in \mathbb{R}, \cos t+\sin t=\sqrt{2} \cos \left(t-\frac{\pi}{4}\right) car |1+i|=\sqrt{2} et \arg (1+i) \equiv \frac{\pi}{4}[2 \pi]
1) Racines carrées d’un nombre complexe
On appelle racine carrée d’un nombre complexe z_{0}. tout complexe z tel que z^{2}=z_{0}.
- i^{2}=-1 donc i est une racine carrée de -1.
- (-i)^{2}=-1 dons -i et ure racine canée de -1.
- 0 ne possède qu’une seule racine carrée qui est 0 .
- \operatorname{Si} a \in] 0,+\infty[, alors a possède deux racine carrée : \sqrt{a} et -\sqrt{a}.
Quel sont les racines carrées d’un nombre complexe non nul ?
Tout complexe nom nul admet exactement deux racines carrées opposées.
Plus exactement, si z_{0} est un nombre complexe non nul de forme trigonométrique z_{0}=r_{0} e^{i \theta_{0}} alors z_{0} admet les deux racines carrées : -\sqrt{r_{0}} e^{i \frac{\theta_{0}}{2}} et +\sqrt{r_{0}} e^{i \frac{\theta_{0}}{2}}.
Méthode pour trouver les racines carrées d’un nombre complexe sous-forme algébrique :
Soit z_{0} un nombre complexe non nul de forme algébrique z_{0}=x_{0}+i y_{0} et soit z une des deux racines carrées de z_{0}. On écrit z sous sa forme algébrique z=x+i y.
z^{2}=z_{0} \Leftrightarrow \begin{cases}|z|^{2}=z_{0}\\ Re (z^{2})=Re (z_{0}) \\ Im (z^{2})=Im (z_{0})\end{cases}.
\quad \quad \quad \Leftrightarrow \begin{cases}x^{2}+y^{2}=\sqrt{x_{0}^{2}+y_{0}^{2}}\\ x^{2}-y^{2}=x_{0} \\ 2xy=y_{0}\end{cases}.
\quad \quad \quad \Leftrightarrow \begin{cases}x^{2}=\frac {1}{2} (\sqrt{x_{0}^{2}+y_{0}^{2}}+x_{0})\\ y^{2}=\frac {1}{2} (\sqrt{x_{0}^{2}+y_{0}^{2}}-x_{0}) \\ xy \text{ est de même signe que } y_{0}\end{cases}.
On pose z_{0}=1+i.
1) Déterminer sous la forme trigonométrique les racines carrées de z_{0}.
2) Déterminer sous la forme algébrique les racines carrées de z_{0}.
3) En déduire la valeur de \cos \left(\frac{\pi}{8}\right) et de \sin \left(\frac{\pi}{8}\right).
2) Résolution d’une équation de deuxième degré dans l’ensemble des nombres complexes.
On considère l’équation (E) d’inconnu z \in \mathbb{C},(\mathrm{E}): a z^{2}+b z+c=0 où (a, b, c) \in \mathbb{C}^{*} \times \mathbb{C}^{2}.
On pose \Delta=b^{2}-4 a c . \Delta est appelé discriminant de l’équation (E).
Alors :
- Si \Delta=0 , alors l’équation (E) admet une racine double qui est z_{0}=\frac{-b}{2 a}.
- Si \Delta \neq 0. Soit \delta une racine carrée de \Delta. L’équation (E) admet deux racines distinctes qui sont z_{1}=\frac{-b-\delta}{2 a} et z_{2}=\frac{-b+\delta}{2 a}.
- Calculer (2+i)^{2}.
- Résoudre dans \mathbb{C} l’équation : \mathrm{z}^{2}-3 i \mathrm{z}-3-i=0.
Somme et produit des racines d’une équation du second degré dans l’ensemble des nombres complexes
On considère l’équation (E) d’inconnu z \in \mathbb{C},(E): a z^{2}+b z+c=0 où (a, b, c) \in \mathbb{C} \times \mathbb{C}^{2}.
On note S l’ensemble des solutions de (E).
\forall z_{1}, z_{2} \in \mathbb{C}, \quad S=\left\{z_{1} ; z_{2}\right\} \Leftrightarrow \begin{cases}z_{1}+z_{2}=-\frac{b}{a} \\ z_{1} z_{2}=\frac{c}{a}\end{cases}.
Résoudre dans \mathbb{C}^{2} le système (\mathrm{S}):\begin{cases}z_{1}+z_{2}=3 i \\ z_{1} z_{2}=-3-i\end{cases}.
Sauf mention explicite du contraire, dans toute cette section n \in \mathbb{N}^{*}.
1) C’est quoi une racine n-ième d’un nombre complexe ?
On appelle racine n-ième de l’unité toute racine n-ième de 1. C’est-à-dire, tout nombre complexe z tel que z^{n}=1.
On note \mathbb{U}_{n} lensemble des racines n-ièmes de l’unité. \mathbb{U}_{n}=\left\{\mathrm{z} \in \mathbb{C} / z^{n}=1\right\}
- i est une racine deuxième (On dit aussi racine carrée) de -1.
- j=e^{i \frac{2 \pi}{3}} est une racine troisième de 1 .
- 1+i est une racine quatrième de -4 .
- 1 et une racine n-ième de 1.
2) C’est quoi une racine n-ième de l’unité ?
On appelle racine n-ième d’un nombre complexe z tout nombre complexe z_{0} tel que z_{0}^{n}=z.
- \forall n \in \mathbb{N}^{*}, 1 \in \mathbb{U}_{n}.
- 1,-1 \in \mathbb{U}_{2}.
- 1, j \cdot j^{2} \in \mathbb{U}_{3}.
- 1,-1, i,-i \in \mathbb{U}_{4}.
Remarque :
- \forall n \in \mathbb{N}^{*},-1 \in \mathbb{U}_{n} \Leftrightarrow n est pair.
- \forall n \in \mathbb{N}^{*}, \mathbb{U}_{n} \subset \mathbb{U}.
3) Expression des racines n-ièmes de l’unité
Il y a exactement n racines n-ièmes de l’unité. Plus précisément, si on note \omega=e^{\frac{2 i \pi}{n}} alors :
\mathbb{U}_{n}=\left\{\omega^{k} / k \in \llbracket 0, n-1 \rrbracket\right\}=\left\{e^{\frac{2 i k \pi}{n}} / k \in \llbracket 0, n-1 \rrbracket\right\}
- \mathbb{U}_{2}=\{-1 ; 1\}
- U_{3}=\left\{1, j, j^{2}\right\}
- U_{4}=\{1 ;-1 ; i,-i\}
Dans le plan complexe, les points dont les affixes sont les racines n-ièmes de l’unité sont les sommets d’un polygone régulier à n-côtés inscrit dans le cercle trigonométrique.
Somme des racines n-ième de l’unité
Soit n \in \mathbb{N}^{*} \backslash\{1\}. On pose \omega=e^{\frac{2 i \pi}{n}}. On a :
1+\omega+\cdots+\omega^{n-1}=\sum_{k=0}^{n-1} \omega^{k}=0.
4) Expression des racines n-ièmes d’un nombre complexe non nul
Soit z \in \mathbb{C}^{*}, On écrit z sous sa forme trigonométrique z=r e^{i \theta}.
z admet n racines n-ièmes.
De plus, l’ensemble des racines n-ièmes de z est \left\{z_{k}=r^{\frac{1}{n}} e^{i\left(\frac{\theta}{n}+\frac{2 k \pi}{n}\right)} / k \in \llbracket 0, n-1 \rrbracket\right\}.
Comment obtenir les racines n-ièmes d’un nombre complexe non nul ?
Pour obtenir les racines n-ièmes d’un nombre complexe non nul on peut :
- Appliquer l’expression ci-dessus.
- Multiplier l’une d’elle par les n racines n-ièmes de l’unité.
Déterminer par deux méthodes les racines 3^{\text {ème }} de -i
1) C’est quoi l’exponentielle complexe ?
Soit z \in \mathbb{C}, on appelle exponentielle complexe de \mathrm{z} et on note \exp (z) (On note aussi e^{z} ) le nombre complexe e^{\operatorname{Re}(z)} e^{i \operatorname{Im}(z)}.
e^{1+i \pi}=e^{1} e^{i \pi}=-e.
2) Propriétés de l’exponentielle complexe
Soit z, z^{\prime} \in \mathbb{C}. On a :
i) e^{\mathrm{z}} \neq 0.
ii) e^{\mathrm{z}+\mathrm{z} \prime}=e^{\mathrm{z}} e^{\mathrm{z \prime}}.
iii) \frac{1}{e^{\mathrm{z}}}=e^{-\mathrm{z}}.
iv) \frac{e^{z}}{e^{z^{\prime}}}=e^{z-z^{\prime}}.
3) Autre propriétés de l’exponentielle complexe
i) \forall z \in \mathbb{C}, e^{z}=1 \Leftrightarrow z \in 2 i \pi \mathbb{Z}.
ii) \forall z, z^{\prime} \in \mathbb{C}, e^{z}=e^{z^{\prime}} \Leftrightarrow z-z^{\prime} \in 2 i \pi \mathbb{Z}. Avec 2 i \pi \mathbb{Z}=\{2 i \pi k / k \in \mathbb{Z}\}.
4) Surjectivité de l’exponentielle complexe
L’application \exp : \underset{z \rightarrow e^{z}}{\mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}^{*}} est surjective.
1) Alignement, orthogonalité, cocyclicité.
Angles et arguments
Soit \mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C} trois points du plan complexe d’affixes respectifs a, b, c, tel que C \neq A et C \neq B. Alors :
i) \widehat {(\overrightarrow{u}, \overrightarrow{AB})} \equiv \arg (b-a)[2 \pi]
ii) \widehat {(\overrightarrow{C A}, \overrightarrow{C B})} \equiv \arg \left(\frac{b-c}{a-c}\right)[2 \pi]
Quand est-ce que trois points du plan sont alignés ?
Soit A, B, C trois points du plan complexe, deux à deux distincts, d’affixes respectifs a, b, c.
A, B, C sont alignés si et seulement si \frac{b-c}{a-c} \in \mathbb{R}.
Utilisation des nombres complexes pour montrer l’orthogonalité
Soit A, B, C trois points du plan complexe, deux à deux distincts, d’affixes respectifs a, b, c.
(C A) \perp(C B) si et seulement si \frac{b-c}{a-c} \in i \mathbb{R}.
Quand est-ce que quatre points du plan sont cocyclique ?
Soit A, B, C, D quatre points du plan complexe, deux à deux distincts, d’affixes respectifs a, b, c, d.
Les points A, B, C, D sont cocycliques (C’est-à-dire sont sur un même cercle) si et seulement si \frac{d-a}{c-a} \times \frac{c-b}{d-b} \in \mathbb{R}.
2) Translation, homothétie, rotation
C’est quoi une transformation du plan ?
- On appelle transformation du plan toute application bijective F: \mathcal{P} \rightarrow \mathcal{P} du plan dans lui-même.
- Si F: \mathcal{P} \rightarrow \mathcal{P} est une transformation du plan, on appelle représentation complexe (ou écriture complexe) de F l’application f: \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C} définie par: \forall M \in \mathcal{P}, f(\operatorname{Aff}(M))=\operatorname{Aff}(F(M)).
C’est quoi une translation ?
Soit \vec{w} un vecteur de plan \mathcal{P}.\underset{\longrightarrow}{\text { On appelle translation de vecteur } \vec{w}} la transformation du plan T_{\vec{w}}: \mathcal{P} \rightarrow \mathcal{P} définie par : \forall M \in \mathcal{P}, T_{\vec{w}}(M)=M^{\prime} avec \overrightarrow{M M^{\prime}}=\vec{w}.
Écriture complexe d’une translation :
L’écriture complexe de la translation de vecteur \vec{w} est l’application t_{\vec{w}}: \underset{z \rightarrow z+a} {\mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}} avec a=A f f(\vec{w}).
C’est quoi une homothétie ?
Soit \Omega un point du plan \mathcal{P} et k \in \mathbb{R}^{*}.
On appelle homothétie de centre \Omega et de rapport k la transformation de plan H_{\Omega, k}: \mathcal{P} \rightarrow \mathcal{P} définie par: \forall M \in \mathcal{P}, H_{\Omega, k}(M)=M^{\prime} avec \overrightarrow{\Omega M^{\prime}}=k \overrightarrow{\Omega M}.
Écriture complexe d’une homothétie :
L’écriture complexe de l’homothétie de centre \Omega et de rapport k est l’application h_{\Omega, k}: \underset{z \rightarrow \omega+k(z-\omega)}{\mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}} avec \omega= \operatorname{Aff}(\Omega).
C’est quoi une rotation ?
Soit \Omega un point du plan \mathcal{P} et \theta \in \mathbb{R}.
On appelle rotation de centre \Omega et d’angle \theta la transformation du plan R_{\Omega, \theta}: \mathcal{P} \rightarrow \mathcal{P} définie par :
\forall M \in \mathcal{P}, \mathcal{R}_{\Omega, \theta}(M)=M^{\prime} avec \Omega M^{\prime}=\Omega M et \widehat {(\overrightarrow{\Omega M}, \overrightarrow{\Omega M^{\prime})}} \equiv \theta [2 \pi].
Écriture complexe d’une rotation :
L’écriture complexe de la notation de centre \Omega et d’angle \theta est l’application r_{\Omega, k}: \underset{z \rightarrow \omega+e^{i \theta}(z-\omega)}{\mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}} avec \omega=A f f(\Omega).
3) Similitudes directes
C’est quoi une similitude directe ?
On appelle similitude directe du plan \mathcal{P} toute transformation du plan représentée dans le plan complexe par l’application \underset{z \rightarrow a z + b}{\mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}} avec (a, b) \in \mathbb{C}^{*} \times \mathbb{C}.
Les translations, les rotations et les homothéties sont des similitudes directes.
Propriétés des similitudes directes
- La composée de deux similitudes directes et une similitude directe.
- Une similitude directe conserve les angles orientés et les rapports de longueurs.
Interprétation géométrique d’une similitude directe
Soit (a, b) \in \mathbb{C}^{*} \times \mathbb{C} et F la similitude directe représentée dans le plan complexe par f: \underset{z \rightarrow a z+b}{\mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}}.
1^{\mathrm{er}} cas :
Si a=1, \mathrm{~F} est la translation de vecteur d’affixe b.
2^{\text {ème }} cas :
Si a \neq 1, F admet un unique point invariant \Omega(F(\Omega)=\Omega) d’affixe \frac{b}{1-a}, appelé centre de la similitude.
De plus si \theta \equiv \arg (a)[2 \pi], alors F=R_{\Omega, \theta} \circ H_{\Omega,|a|}=H_{\Omega,|a|} \circ R_{\Omega, \theta}.
Le réel |a| est appelé rapport de la similitude et \theta est une mesure de l’angle de la similitude.
Cas particuliers de similitudes directes :
Lorsque \neq 1 :
- Si a \in \mathbb{R}^{*}, F est l’homothétie de centre \Omega et de rapport a.
- Si |a|=1, F est la rotation de centre \Omega et d’angle \theta.
Identifier les transformations du plan dont les représentations complexes sont les suivantes :
- f_{1}: \underset{z \rightarrow z+1+i}{\mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}}.
- f_{2}: \underset{z \rightarrow e^{i \pi /6}z}{\mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}}.
- f_{3}: \underset{z \rightarrow e^{i \pi /3}z+1}{\mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}}.
- f_{4}: \underset{z \rightarrow 2z+1-i}{\mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}}.
- f_{5}: \underset{z \rightarrow -z+2-i}{\mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}}.
- f_{2}: \underset{z \rightarrow (1+i)z+i}{\mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}}.
- f_{2}: \underset{z \rightarrow (1+i \sqrt 3 )z+1}{\mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}}.
Donner l’application qui représente dans le plan complexe la similitude de rapport 2 , d’angle \frac{\pi}{3} et de centre le point d’affixe 1+\mathrm{i}.
4) Interprétation géométrique de la conjugaison
L’application \mathbb{C} \underset{z \rightarrow \bar{z}}{\longrightarrow} \mathbb{C} est la repésentation complexe de la réflexion d’axe des réels ((0, \vec{u})).