Trigonométrie en MPSI et MP2I - Mathématiques en prépas MPSI et MP2I- Cours, méthodes et exercices

Ce cours est un petit formulaire de trigonométrie conforme au nouveau programme de mathématiques en MPSI et MP2I. Non seulement vous devez apprendre par cœur toutes les formules trigonométriques ci-dessous, mais vous devez aussi savoir les retrouver.

1) Cercle trigonométrique. Paramétrisation par cosinus et sinus.

Dans le plan euclidien, on considère un repère $(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$ orthonormé.
Le cercle $C(O,1)$ de centre $O$ et de rayon 1 est dit cercle trigonométrique.

Soit $M\in C(O,1)$ . On pose $\theta=\widehat{(\overrightarrow{i},\overrightarrow{OM})}$ .

Si le point $M$ est de coordonnées $(x,y)$ , alors $x=\cos (\theta)$ et $y=\sin (\theta)$ .
On sait que le cercle trigonométrique a $x^{2}+y^{2}=1$ pour équation cartésienne, on obtient ainsi la formule très importante en trigonométrie $\sin ^{2} \theta +\cos ^{2} \theta =1$

Cosinus et sinus des angles usuels :

$\theta$	$0$	$\frac{\pi}{6}$	$\frac{\pi}{4}$	$\frac{\pi}{3}$	$\frac{\pi}{2}$
$\cos (\theta)$	$1$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{1}{2}$	$0$
$\sin (\theta)$	$0$	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$1$

cos et sin des angles usuels

2) Relation de congruence modulo $2 \pi$ sur $\mathbb{R}$ .

Soit $x,y \in \mathbb{R}$ . On dit que $x$ et $y$ sont congrus modulo $2 \pi$ sur $\mathbb{R}$ lorsqu’il existe $k \in \mathbb{Z}$ tel que $x=y+2k \pi$ .
On note dans ce cas $x \equiv y [2 \pi ]$ .
On définit de même la relation de congruence modulo un réel sur $\mathbb{R}$ .

Remarque : La relation de congruence modulo un réel sur $\mathbb{R}$ est une relation d’équivalence.

$3 \pi /2=- \pi /2 [2 \pi ]$
$3 \pi /2= \pi /2 [ \pi ]$
$\pi =0[ \pi ]$
$7 \pi /6=\pi /6 [ \pi ]$

3) Cosinus et sinus de $\pi \pm x$ et $\frac{\pi}{2} \pm x$ .

Pour retrouver ces formules je vous conseil de tracer des figures comme ci-dessous :

4) Les principales formules de trigonométries

Formules d’addition :

Pour tout $a, b \in \mathbb{R}$ on a :

$\quad \cos (a+b)=\cos (a) \cos (b)-\sin (a) \sin (b)$ .
$\quad \cos (a-b)=\cos (a) \cos (b)+\sin (a) \sin (b)$ .
$\quad \sin (a+b)=\sin (a) \cos (b)+\cos (a) \sin (b)$ .
$\quad \sin (a-b)=\sin (a) \cos (b)-\cos (a) \sin (b)$ .

En remplaçant $b$ par $a$ dans les formules d’addition, on obtient les formules dites de duplication :

Formules de duplication :

Pour tout $\theta \in \mathbb{R}$ :
i) $\cos (2 \theta)=\cos ^{2}(\theta)-\sin ^{2}(\theta)=2 \cos ^{2}(\theta)-1=1-2 \sin ^{2}(\theta)$ .
ii) $\sin (2 \theta)=2 \sin (\theta) \cos (\theta)$ .

En ajoutant ou en retranchant les formules d’addition, on obtient ce qu’on appelle les formules de développement :

Formules de développement :

Pour tout $a, b \in \mathbb{R}$ :

$\quad 2 \cos (a) \cos (b)=\cos (a+b)+\cos (a-b)$
$\quad 2 \sin (a) \cos (b)=\sin (a+b)+\sin (a-b)$
$\quad 2 \sin (a) \sin (b)=\cos (a-b)-\cos (a+b)$

En remplaçant dans les formules de développement $a+b$ (resp. $a-b$ ) par $p$ (resp. $q$ ), on obtient ce qu’on appelle les formules de factorisation :

Formules de factorisation :

Pour tout $p,q \in \mathbb{R}$ on a :

$\quad \cos (p)+\cos (q) =2 \cos (\frac {p+q}{2})\cos (\frac {p-q}{2})$ .
$\quad \cos (p)-\cos (q) =-2 \sin (\frac {p+q}{2})\sin (\frac {p-q}{2})$ .
$\quad \sin (p)+\sin (q) =2 \sin (\frac {p+q}{2})\cos (\frac {p-q}{2})$ .
$\quad \sin (p)-\sin (q) =2 \cos (\frac {p+q}{2})\sin (\frac {p-q}{2})$ .

5) Fonctions circulaires cosinus et sinus

Les fonctions sinus et cosinus sont dérivables sur $\mathbb{R}$ et on a : $\forall x \in \mathbb{R}, \cos ^{\prime}(x)=-\sin (x)$ et $\sin ^{\prime}(x)=\cos (x)$ .
$\forall x \in \mathbb{R},|\sin (x)| \leq|x|$ .
La représentation graphique de la courbe de la fonction cos est la suivante :

6) La fonction tangente

Pour tout $x \in \mathbb{R} \backslash\left\{\frac{\pi}{2}+k \pi / k \in \mathbb{Z}\right\}$ , on pose $\tan (x)=\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .
On définit ainsi une fonction dite fonction tangente, qu’on note tan. La fonction tangente est dérivable sur son ensemble de définition et $\forall \in \mathbb{R} \backslash\left\{\frac{\pi}{2}+k \pi / k \in \mathbb{Z}\right\}, \tan ^{\prime}(x)=1+\tan ^{2}(x)=1 / \cos ^{2}(x)$ .
En particulier, pour tout $k \in \mathbb{Z}$ , la fonction tangente est croissante sur $]-\frac{\pi}{2}+k \pi, \frac{\pi}{2}+k \pi[$ .

Voici la représentation graphique de la fonction tangente :

Tangente des angles usuels :

$\theta$	$0$	$\frac{\pi}{6}$	$\frac{\pi}{4}$	$\frac{\pi}{3}$	$\frac{\pi}{2}$
$\tan (\theta )$	$0$	$\frac{\sqrt {3}}{3}$	$1$	$\sqrt {3}$	non défini

Valeurs usuelles de la fonction tangente

Tangente de $\pi \pm x$ :

Pour tout $\theta \in \mathbb{R} \backslash\left\{\frac{\pi}{2}+k \pi / k \in \mathbb{Z}\right\}$ , on a :
i) $\tan (\pi+\theta)=\tan (\theta)$
ii) $\tan (\pi-\theta)=-\tan (\theta)$

Formules d’addition pour la fonction tangente :

Pour tout $a, b \in \mathbb{R} \backslash\left\{\frac{\pi}{2}+k \pi / k \in \mathbb{Z}\right\}$ , on a :
i) $\quad \tan (a+b)=\frac{\tan (a)+\tan (b)}{1-\tan (a) \tan (b)}$
ii) $\quad \tan (a-b)=\frac{\tan (a)-\tan (b)}{1+\tan (a) \tan (b)}$

Formule de duplication pour la fonction tangente :

Pour tout $\theta \in \mathbb{R} \backslash\left\{\frac{\pi}{2}+k \pi / k \in \mathbb{Z}\right\}$ , on a $: \tan (2 \theta)=\frac{2 \tan (\theta)}{1-\tan ^{2}(\theta)}$ .

Les formules de l’angle moitié :

Sous réserve d’existence, on a les formules suivantes :
i) $\quad \cos (\theta)=\frac{1-\tan ^{2}\left(\frac{\theta}{2}\right)}{1+\tan ^{2}\left(\frac{\theta}{2}\right)}$ .
ii) $\quad \sin (\theta)=\frac{2 \tan \left(\frac{\theta}{2}\right)}{1+\tan ^{2}\left(\frac{\theta}{2}\right)}$ .
iii) $\quad \tan (\theta)=\frac{2 \tan \left(\frac{\theta}{2}\right)}{1-\tan ^{2}\left(\frac{\theta}{2}\right)}$ .