Soit f: I \rightarrow \mathbb{R} une fonction dérivable sur un intervalle I, telle que f^{\prime} ne s’annule pas sur I.
Montrer que f est strictement monotone sur I.
On considère la fonction f définie pour tout x \in \mathbb{R} par : f(x)=\begin{cases} x^{2} \ln \left(x^{2}\right) \text { si } x \neq 0 \\ 0 \text { si } x=0\end{cases}.
1) Justifier que f est dérivable sur \mathbb{R} et calculer f^{\prime}.
2) Montrer que f est de classe C^{1} sur \mathbb{R}.
3) f est-elle deux fois dérivable sur \mathbb{R} ?
On considère la fonction f définie pour tout x \in \mathbb{R} par : f(x)=\left\{\begin{array}{c}\left(x^{x}\right)^{x} \text { si } x>0 \\ 1 \text { si } x \leq 0\end{array}\right..
1) Montrer que f est de classe C^{1} sur \mathbb{R}.
2) f est-elle deux fois dérivable sur \mathbb{R} ?
Pour tout n \in \mathbb{N}, calculer la dérivée \mathrm{n}-ième, en précisant son domaine d’existence, des fonctions suivantes :
1) f_{1}: x \rightarrow x^{3} \ln x.
2) f_{2}: x \rightarrow \sin x \cos x.
3) f_{3}: x \rightarrow e^{x} \sin x.
4) f_{4}: x \rightarrow x^{2} e^{x}.
5) f_{5}: x^{2}(1-x)^{n}.
Soit f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} une fonction dérivable.
1) On suppose que \underset {x \rightarrow \pm \infty}{lim} f(x)=+\infty. Montrer qu’il existe c \in \mathbb{R} tel que f^{\prime}(c)=0.
2) On suppose cette fois que \underset{x \rightarrow \pm \infty}{lim} f(x)=l \in \mathbb{R}.
2-a) Pour tout x \in]-\pi / 2, \pi / 2[, on pose g(x)=f(\tan (x)). Montrer que g peut se prolonger en une fonction continue sur ]-\pi / 2, \pi / 2[.
2-b) En déduire qu’il existe c \in \mathbb{R} tel que f^{\prime}(c)=0.
Montrer que pour tout a, b des réels positifs tels que a<b et pour tout x \in\left[0, \frac{\pi}{2}\right], on a :
1) 0 \leq \sin x \leq x.
2) -x^{2} \leq \cos x-1 \leq 0.
3) \frac{b-a}{1+b^{2}} \leq \arctan b-\arctan a \leq \frac{b-a}{1+a^{2}}.
Soit f:[a, b] \rightarrow \mathbb{R} une fonction continue, ne s’annulant pas sur [a, b] et dérivable sur ] a, b[.
Montrer qu’il existe c \in] a, b[ tel que \frac{f(a)}{f(b)}=e^{(a-b) \frac{f^{\prime}(c)}{f(c)}}.
Soit f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} une fonction dérivable. Montrer que si \underset{x \rightarrow+\infty}{lim} f^{\prime}(x)=+\infty alors \underset{x \rightarrow+\infty}{lim} f(x)=+\infty.
Soit a, b \in \mathbb{R}, tel que a<b et f, g:[a, b] \rightarrow \mathbb{R} deux applications continues sur [a, b] et dérivables sur ] a, b[.
On suppose de plus que g^{\prime} ne s’annule pas sur ] a, b[.
1) Montrer que \exists c \in ] a, b[ , \frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac {f^{\prime}(c)}{g^{\prime}(c)}.
2) En déduire que si \underset { \underset {x>a}{x \rightarrow a}}{\lim} \frac{f^{\prime}(x)}{g^{\prime}(x)}=l alors \underset { \underset {x>a}{x \rightarrow a}}{\lim} \frac{f(x)-f(a)}{g(x)-g(a)}=l.
3) Application : En déduire la valeur de \underset{x \rightarrow 0^{+}}{\lim} \frac{\cos (x)+x \sin (x)-1}{e^{x}-x-1}.
Soit a, b \in \mathbb{C} et n \in \mathbb{N}. Calculer la dérivée de la fonction : \quad \begin{aligned} f: \mathbb{R} & \rightarrow \mathbb{C} \\ x & \rightarrow(a x+b)^{n}\end{aligned}
Soit f: \underset {x\rightarrow \begin{cases} x^{2}e^{\frac{i}{x}} \text{ si } x\neq 0 \\ 0 \text{ si } x=0 \end{cases}} {\mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{C} }
1) Montrer que f est dérivable sur \mathbb{R}.
2) Montrer que f^{\prime} n’est pas continue en 0.