Je vous présente ci-dessous une série d’exercices corrigés pour illustrer le cours limites et continuité pour les étudiants en prépa MPSI et MP2I
Étudier la continuité des fonctions définies sur \mathbb{R} suivantes :
f: x \rightarrow\lfloor x\rfloor+\sqrt{x-\lfloor x\rfloor} et g: x \rightarrow\lfloor x\rfloor-(x-\lfloor x\rfloor)^{2}.
Indication : On distinguera les cas a \in \mathbb{R} \backslash \mathbb{Z} et a \in \mathbb{Z}.
Soit f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} une fonction continue en 0.
Montrer que : f est constante \Leftrightarrow \forall x \in \mathbb{R}, f(2 x)=f(x).
Soit f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} une fonction continue sur \mathbb{R} et telle que f_{/ \mathbb{Q}} soit croissante.
Montrer que f est croissante.
Soit f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} une fonction continue et périodique.
Montrer que f est bornée.
Soit f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} une fonction continue et telle que \underset {x \rightarrow \pm \infty}{\lim} f(x)=+\infty.
Montrer qu’il existe a \in \mathbb{R}, \forall x \in \mathbb{R}, f(x) \geq f(a).
Soit f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} une fonction continue telle que : \forall x, y \in \mathbb{R}, f(x+y)=f(x)+f(y).
1) Calculer f(0) et montrer que \forall x \in \mathbb{R}, f(-x)=-f(x).
2) Justifier que \forall n \in \mathbb{Z}, \forall x \in \mathbb{R}, f(n x)=n f(x).
3) Établir que \forall r \in \mathbb{Q}, f(r)= ar avec a=f(1).
4) Conclure que \forall x \in \mathbb{R}, f(x)=a x.
Soit f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} une fonction continue et admettant des limites finies en +\infty et en -\infty.
Montrer que f est bornée sur \mathbb{R}
Soit f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} continue telle que \underset {x \rightarrow-\infty} {\lim} f(x)=-1 et \underset {x \rightarrow+\infty} {\lim} f(x)=1.
Prouver que f s’annule.
Soit f une application continue et décroissante sur \mathbb{R}.
Montrer que f possède un unique point fixe.
Soit f: \mathbb{R}_{+}^{*} \rightarrow \mathbb{R} une fonction croissante telle que x \rightarrow \frac{f(x)}{x} soit décroissante.
Montrer que f est continue.
Soit f et g continues sur [0,1] telles que \underset{x \in[0,1]}{\sup} f(x)=\underset{x \in[0,1]}{\inf} g(x).
Montrer que les graphes de f et de g se coupent.
Soit f:[a, b] \rightarrow \mathbb{R} une fonction continue sur le segment [a, b].
Montrer que \underset{x \in[a, b]}{\sup} f(x)=\underset{x \in]a,b[}{\sup} f(x).
Soient a et b deux réels tels que a<b et f:[a, b] \rightarrow[a, b] une fonction continue sur [a, b] telle que f \circ f=f.
On note A=\{x \in[a, b] / f(x)=x\}.
Montrer que A est un intervalle non vide de \mathbb{R}.
Soient a et b deux réels tels que a<b.
Trouver une bijection de [a, b] sur lui-même et qui est discontinue en chacun de ses points.
Soit f:[a, b] \rightarrow \mathbb{R} une fonction continue sur [a, b] telle que f(a) f(b)<0. (Pour se fixer les idées on suppose que f(a)<0<f(b)).
On pose A=\{x \in[a, b] / f(x) \geq 0\}.
1) Justifier que A admet une borne inférieure. On note c=\inf A.
2-i) Montrer que f(c) \geq 0.
2-ii) Montrer que f(c) \leq 0.
2-iii) Conclure.
On considère une fonction f définie sur \mathbb{R} et vérifiant \forall x, y \in \mathbb{R},|f(x)-f(y)| \leq k|x-y|, avec k \in[0,1[.
On dit que f est k-contractante.
1) Montrer que f est continue sur \mathbb{R}.
2) Montrer que \forall x \in \mathbb{R},|f(x)| \leq|f(0)|+k|x|.
3) On considère la fonction g définie par \forall x \in \mathbb{R}, g(x)=f(x)-x.
Déterminer les limites de g en +\infty et en -\infty.
4) Montrer que f admet un unique point fixe.