Le cours suites numériques est destiné aux étudiants des classes prépa niveau sup. Il est conforme au nouveau programme français des filières MPSI et MP2I.
Définition 1 :
Une suite réelle est une application u: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{R}. On note cette application sous forme indicielle \left(u_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} ou encore \left(u_{n}\right).
i) On pose \forall n\in \mathbb{N}, u_n=1+2n+ \cos(n) . (u_n)_{n\in\mathbb{N}} est une suite numérique définie explicitement.
ii) Pour tout n \in \mathbb{N} , on considère la fonction f_n définie pour tout x\in \mathbb{R} par : f_{n}(x)=ne^{x}+x+1.
Pour tout n \in \mathbb{N} , on note x_n l’unique solution réelle de l’équation f_{n}(x)=0. (u_n)_{n\in\mathbb{N}} est une suite numérique définie implicitement.
iii) On pose u_0=1 , u_1=-1 et \forall n\in \mathbb{N}, u_{n+2}=u_{n+1}+u_{n}. (u_n)_{n\in\mathbb{N}} est une suite numérique définie par récurrence.
Définition 2 :
On dit qu’une suite réelle \left(u_{n}\right) est :
i) Majorée lorsque \exists M \in \mathbb{R}, \forall n \in \mathbb{N}, u_{n} \leq M.
ii) Minorée lorsque \exists m \in \mathbb{R}, \forall n \in \mathbb{N}, u_{n} \geq m.
iii) Bornée lorsque \left(u_{n}\right) est majorée et minorée.
Remarque 1 :
Une suite réelle \left(u_{n}\right) est bornée si et seulement si la suite \left(\left|u_{n}\right|\right) est majorée.
Définition 3 :
On dit qu’une suite réelle \left(u_{n}\right) est stationnaire lorsque \exists n_{0} \in \mathbb{N}, \forall n \geq n_{0}, u_{n}=u_{n_{0}}. On dit aussi que \left(u_{n}\right) est constante à partir d’un certain rang.
Définition 4 :
On dit qu’une suite réelle \left(u_{n}\right) est :
i) Croissante lorsque : \forall n \in \mathbb{N}, u_{n} \leq u_{n+1}.
ii) Décroissante lorsque : \forall n \in \mathbb{N}, u_{n+1} \leq u_{n}.
iii) Strictement croissante lorsque : \forall n \in \mathbb{N}, u_{n}<u_{n+1}.
iv) Strictement décroissante lorsque : \forall n \in \mathbb{N}, u_{n}>u_{n+1}.
v) Monotone lorsqu’elle est croissante ou décroissante.
vi) Strictement monotone lorsqu’elle est strictement croissante ou strictement décroissante.
Étudier la monotonie des suites numériques \left(u_{n}\right) et \left(v_{n}\right) définies par :
\forall n \in \mathbb{N}^{*}, u_{n}=n^{n}-n ! et v_{n}=\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{n+k}
1) Notion de limite
Définition 5 :
Soit \left(u_{n}\right) une suite réelle et l \in \mathbb{R} :
- On dit que \left(u_{n}\right) tend vers l lorsque n tend vers +\infty, lorsque \forall \varepsilon>0, \exists n_{0} \in \mathbb{N}, \forall n \in \mathbb{N},\left(n \geq n_{0} \Rightarrow\left|u_{n}-l\right| \leq \varepsilon\right).
Ou d’une façon abrégée, \forall \varepsilon>0, \exists n_{0} \in \mathbb{N}, \forall n \geq n_{0},\left|u_{n}-l\right| \leq \varepsilon - On dit que \left(u_{n}\right) tend vers +\infty lorsque n tend vers +\infty, lorsque \forall A \in \mathbb{R}, \exists n_{0} \in \mathbb{N}, \forall n \in \mathbb{N},\left(n \geq n_{0} \Rightarrow u_{n} \geq A\right).
Ou d’une façon abrégée, \forall A \in \mathbb{R}, \exists n_{0} \in \mathbb{N}, \forall n \geq n_{0}, u_{n} \geq A - On dit que \left(u_{n}\right) tend vers -\infty lorsque n tend vers +\infty, lorsque \forall A \in \mathbb{R}, \exists n_{0} \in \mathbb{N}, \forall n \in \mathbb{N},\left(n \geq n_{0} \Rightarrow u_{n} \leq A\right).
Ou d’une façon abrégée, \forall A \in \mathbb{R}, \exists n_{0} \in \mathbb{N}, \forall n \geq n_{0}, u_{n} \leq A
Proposition (Unicité de la limite) :
Soit \left(u_{n}\right) une suite réelle, si \left(u_{n}\right) admet une limite l \in \mathbb{R} alors l est unique.
Vocabulaire : Soit \left(u_{n}\right) une suite réelle.
i) On dit que \left(u_{n}\right) est convergente lorsque \left(u_{n}\right) admet une limite l \in \mathbb{R}.
ii) Si \left(u_{n}\right) admet +\infty ou -\infty pour limite ou si \left(u_{n}\right) n’admet pas de limite, on dit que \left(u_{n}\right) est divergente.
Proposition 1 :
Toute suite réelle convergente est bornée.
Proposition 2 :
Le produit d’une suite bornée par une suite tendant vers 0 est une suite qui tend vers 0.
2) Opérations sur les limites de suites numériques
Limite d’une somme : Soit l_{1}, l_{2} \in \mathbb{R} :
| lim\; u_n | l_1 | +\infty | -\infty | +\infty | +\infty | -\infty |
| lim \;v_n | l_2 | l_2 | l_2 | -\infty | +\infty | -\infty |
| lim( u_n + v_n) | l_1 + l_2 | +\infty | -\infty | FI | +\infty | -\infty |
Limite d’un produit : Soit l, l_{1}, l_{2} \in \mathbb{R}
| lim\; u_n | l_1 | l>0 | l>0 | l<0 | l<0 | +\infty | +\infty | -\infty | 0 |
| lim \;v_n | l_2 | +\infty | -\infty | +\infty | -\infty | +\infty | -\infty | -\infty | \pm \infty |
| lim( u_n . v_n) | l_1 . l_2 | +\infty | -\infty | -\infty | +\infty | +\infty | -\infty | +\infty | FI |
Limite de l’inverse : Soit l \in \mathbb{R}^{*} :
| lim\; u_n | l | \pm \infty | 0^+ | 0^- |
| lim\; \frac{1}{u_n} | \frac{1}{l} | 0 | +\infty | -\infty |
Remarque 2 : 2: Les formes indéterminées d’un quotient sont : \frac{0}{0} et \infty / \infty.
Soit \left(u_{n}\right) et \left(v_{n}\right) deux suites réelles telles que les suites \left(u_{n}+v_{n}\right) et \left(u_{n}-v_{n}\right) convergent. Montrer que \left(u_{n}\right) et \left(v_{n}\right) sont convergentes.
3) Limites et inégalités
Proposition 4 :
Soit l, m, M \in \mathbb{R} tels que m<l<M, et \left(u_{n}\right) une suite réelle qui converge vers l.
Alors : \exists n_{0} \in \mathbb{N}, \forall n \geq n_{0}, m<u_{n}<M.
Soit \left(u_{n}\right) une suite d’entiers convergente. Montrer que \left(u_{n}\right) est stationnaire.
Corollaire 1 :
Soit \left(u_{n}\right) une suite réelle qui converge vers \left.l \in\right] 0,+\infty\left[\right.. Alors \exists n_{0} \in \mathbb{N}, \forall n \geq n_{0}, 0<u_{n}.
Soit \left(u_{n}\right) et \left(v_{n}\right) deux suites numériques qui convergent respectivement vers l et l^{\prime} avec l<l^{\prime}. Montrer que \exists n_{0} \in \mathbb{N}, \forall n \geq n_{0}, u_{n}<v_{n}.
Proposition 5 (Passage à la limite dans une inégalité) :
Soit M \in \mathbb{R} et \left(u_{n}\right) une suite réelle convergente.
On suppose que \exists n_{0} \in \mathbb{N}, \forall n \geq n_{0}, u_{n} \leq M(*). Alors : lim \; u_{n} \leq M.
Remarque 3 :
i) Si on remplace la condition (*) par \exists n_{0} \in \mathbb{N}, \forall n \geq n_{0}, u_{n}<M. Alors lim u_{n} \leq M.
ii) Si on remplace la condition (*) par \exists n_{0} \in \mathbb{N}, \forall n \geq n_{0}, u_{n} \geq M. Alors \lim u_{n} \geq M.
Corollaire 2 :
Soit \left(u_{n}\right) et \left(v_{n}\right) deux suites réelles convergentes.
On suppose que \exists n_{0} \in \mathbb{N}, \forall n \geq n_{0}, u_{n}<v_{n} alors : \lim u_{n} \leq \lim v_{n}.
Théorème de convergence par encadrement (Théorème des gendarmes) :
Soit \left(u_{n}\right),\left(v_{n}\right) et \left(w_{n}\right) trois suites numériques.
On suppose que \exists n_{0} \in \mathbb{N}, \forall n \geq n_{0}, v_{n} \leq u_{n} \leq w_{n} et que \left(v_{n}\right) et \left(w_{n}\right) convergent vers la même limite l \in \mathbb{R}.
Alors \left(u_{n}\right) converge et \lim u_{n}=l.
Déterminer la limite de la suite \left(u_{n}\right) dans les cas suivants :
1) \forall n \in \mathbb{N}^{*}, u_{n}=\sum_{k=1}^{n} \frac{n}{n^{2}+k}
2) \forall n \in \mathbb{N}^{*}, u_{n}=1+\frac{\sin (n)}{n}
Soit a, b \in \mathbb{R}, et \left(u_{n}\right) et \left(v_{n}\right) deux suites réelles telles que \forall n \in \mathbb{N}, u_{n} \leq a et v_{n} \leq b et \lim u_{n}+v_{n}=a+b. Déterminer les limites de \left(u_{n}\right) et \left(v_{n}\right).
Proposition 6 :
Soit \left(u_{n}\right) et \left(v_{n}\right) deux suites numériques.
On suppose que \lim v_{n}=+\infty et \exists n_{0} \in \mathbb{N}, \forall n \geq n_{0}, v_{n} \leq u_{n}. Alors \lim u_{n}=+\infty.
On pose \forall n \in \mathbb{N}^{*}, u_{n}=\prod_{k=1}^{n}\left(2-\frac{1}{2^{k}}\right). Déterminer la limite de \left(u_{n}\right).
Corollaire 3 :
Soit \left(u_{n}\right) et \left(v_{n}\right) deux suites réelles.
On suppose que \lim v_{n}=-\infty et \exists n_{0} \in \mathbb{N}, \forall n \geq n_{0}, v_{n} \geq u_{n}. Alors \lim u_{n}=-\infty.
Théorème de la limite monotone :
Soit \left(u_{n}\right) une suite réelle croissante.
i) Si \left(u_{n}\right) est majorée alors elle est convergente.
ii) Si \left(u_{n}\right) n’est pas majorée alors \lim u_{n}=+\infty.
Corollaire (Théorème de la limite monotone version suite décroissante) :
i) Si \left(u_{n}\right) est minorée alors elle est convergente.
ii) Si \left(u_{n}\right) n’est pas minorée alors \lim u_{n}=-\infty.
Remarque 4 :
i) Si \left(u_{n}\right) est une suite réelle croissante et majorée, alors \lim u_{n}=\sup \left\{u_{n} / n \in \mathbb{N}\right\}.
ii) Si \left(u_{n}\right) est une suite réelle décroissante et minorée, alors \lim u_{n}=\inf \left\{u_{n} / n \in \mathbb{N}\right\}.
Montrer la convergence de la suite \left(v_{n}\right) définie par : \forall n \in \mathbb{N}^{*}, v_{n}=\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{n+k}.
Montrer la convergence de la suite \left(S_{n}\right) définie par : \forall n \in \mathbb{N}^{*}, S_{n}=\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k^{2}}.
Définition (Suites adjacentes) :
Soit \left(u_{n}\right) et \left(v_{n}\right) deux suites réelles. On dit que \left(u_{n}\right) et \left(v_{n}\right) sont adjacentes lorsque :
\left(u_{n}\right) est croissante, \left(v_{n}\right) est décroissante et \lim \left(u_{n}-v_{n}\right)=0.
Théorème de convergence de deux suites adjacentes :
Soit \left(u_{n}\right) et \left(v_{n}\right) deux suites réelles.
Si \left(u_{n}\right) et \left(v_{n}\right) sont adjacentes alors elles sont convergentes et convergent vers la même limite l.
De plus, si \left(u_{n}\right) est la suite croissante et \left(v_{n}\right) est la suite décroissante alors \forall n \in \mathbb{N}, u_{n} \leq l \leq v_{n}.
Soit x \in \mathbb{R}. Pour tout n \in \mathbb{N}^{*}, on pose a_{n}=\frac{\left\lfloor 10^{n} x\right\rfloor}{10^{n}} et b_{n}=\frac{\left\lfloor 10^{n} x\right\rfloor+1}{10^{n}}.
Montrer que \left(a_{n}\right) et \left(b_{n}\right) sont adjacentes et déterminer leur limite commune.
Définition 7 :
Soit \left(u_{n}\right) une suite réelle. On dit qu’une suite \left(v_{n}\right) est une suite extraite (ou une sous -suite) de \left(u_{n}\right) s’il existe une application \varphi: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N} strictement croissante telle que \forall n \in \mathbb{N}, v_{n}=u_{\varphi(n)}.
Soit \left(u_{n}\right) une suite réelle.
Les suites numériques \left(u_{n+1}\right), \left(u_{2n}\right), \left(u_{2n+1}\right), \left(u_{3n+2}\right) sont des suites extraites de la suite numérique \left(u_{n}\right).
Les suites numériques \left(u_{4n}\right), \left(u_{6n}\right), \left(u_{4n+2}\right) sont des suites extraites de \left(u_{n}\right) ainsi que de \left(u_{2n}\right).
Remarque 5 :
Soit \left(u_{n}\right) une suite réelle, \varphi_{1}, \varphi_{2} deux applications de \mathbb{N} dans \mathbb{N} strictement croissantes.
i) La suite \left(u_{\varphi_{1} \circ \varphi_{2}(n)}\right) est une suite extraite de \left(u_{\varphi_{1}(n)}\right).
ii) La suite \left(u_{\varphi_{1} \circ \varphi_{2}(n)}\right) n’est pas forcément une suite extraite de \left(u_{\varphi_{2}(n)}\right).
Lemme :
Soit \varphi: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N} une application strictement croissante. Alors \forall n \in \mathbb{N}, \varphi(n) \geq n.
Proposition 7 :
Soit \left(u_{n}\right) une suite réelle qui admet une limite l \in \overline{\mathbb{R}}. Alors toute suite extraite de \left(u_{n}\right) admet l pour limite.
Soit \left(u_{n}\right) une suite réelle croissante telle que \left(u_{2 n}\right) converge. Montrer que \left(u_{n}\right) est convergente.
Montrer que la suite (\cos (n)) n’admet pas de limite.
Déterminer la limite de la suite \left(H_{n}\right) définie par \forall n \in \mathbb{N}^{*}, H_{n}=\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k}
Corollaire :
i) Toute suite réelle qui admet une sous-suite divergente est divergente.
ii) Si une suite réelle \left(u_{n}\right) admet deux sous-suites tendant vers deux limites distinctes, alors \left(u_{n}\right) n’admet pas de limite.
iii) Si une suite réelle \left(u_{n}\right) admet une sous-suite qui n’admet pas de limite alors \left(u_{n}\right) n’admet pas de limite.
Proposition :
Soit \left(u_{n}\right) une suite réelle et l \in \overline{\mathbb{R}}. Si \lim u_{2 n}=\lim u_{2 n+1}=l alors \lim u_{n}=l.
Soit \left(u_{n}\right) une suite réelle telle que \left(u_{2 n}\right),\left(u_{2 n+1}\right) et \left(u_{3 n}\right) convergent. Montrer que \left(u_{n}\right) converge.
On pose \forall n \in \mathbb{N}^{*}, S_{n}=\sum_{k=1}^{n} \frac{(-1)^{k}}{k}. Montrer que la suite \left(S_{n}\right) est convergente.
Théorème de Bolzano-Weierstrass :
De toute suite réelle bornée on peut extraire une suite convergente.
Remarque : La démonstration est basée sur le principe de dichotomie.
Soit \left(u_{n}\right) une suite réelle bornée telle que toutes les suites extraites qui convergent ont la même limite l \in \mathbb{R}. Montrer que la suite \left(u_{n}\right) est convergente.
Caractérisation séquentielle de la densité :
Soit A une partie non vide de \mathbb{R}. A est dense dans \mathbb{R} si et seulement si tout réel est limite d’une suite d’éléments de A.
Corollaire :
\mathbb{Q}, \mathbb{D} et \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q} sont denses dans \mathbb{R}
Caractérisation séquentielle de la borne supérieure :
Soit A une partie non vide et majorée de \mathbb{R}.
\forall a \in \mathbb{R}, \quad a=\sup A \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{c}\text { a est un majorant de A } \\ \text { Il existe une suite }\left(a_{n}\right) d^{\prime} \text { éléments de A qui converge vers a. }\end{array}\right.
Caractérisation séquentielle de la borne inférieure :
Soit A une partie non vide et minorée de \mathbb{R}.
\forall a \in \mathbb{R}, \quad a=\inf A \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{c}a \text { est un minorant de } A \\ \text { Il existe une suite }\left(a_{n}\right) d^{\prime} \text { éléments de A qui converge vers a. }\end{array}\right.
Justifier que : \sup (] 0 ; 1[)=1 et \inf (] 0 ; 1[)=0.
On pose A=\left\{(-1)^{n}+\frac{1}{n} / n \in \mathbb{N}^{*}\right\}. Justifier que A admet une borne inférieure, puis la déterminer.
Proposition :
Soit A une partie non vide de \mathbb{R}.
i) A est non majorée si et seulement si il existe une suite \left(a_{n}\right) d’éléments de A telle que \lim a_{n}=+\infty.
ii) A est non minorée si et seulement si il existe une suite \left(a_{n}\right) d’éléments de A telle que \lim a_{n}=-\infty.
Définition :
Une suite complexe (ou à termes complexes) est une application de \mathbb{N} dans \mathbb{C}.
Définition :
Soit \left(u_{n}\right) une suite complexe.
i) On appelle partie réelle de \left(u_{n}\right) la suite \left(\operatorname{Re}\left(u_{n}\right)\right).
ii) On appelle partie imaginaire de \left(u_{n}\right) la suite \left(\operatorname{Im}\left(u_{n}\right)\right).
On pose \forall n\in \mathbb{N}, u_n=1+2n+ i \cos(n) . (u_n)_{n\in\mathbb{N}} est une suite à valeurs dans \mathbb{C} et on a : \left(\operatorname{Re}\left(u_{n}\right)\right)_{n\in\mathbb{N}} =\left(1+2n\right)_{n\in\mathbb{N}} et \left(\operatorname{Im}\left(u_{n}\right)\right)_{n\in\mathbb{N}} =\left(\cos n\right)_{n\in\mathbb{N}}
Définition :
On dit qu’une suite complexe \left(u_{n}\right) est bornée lorsque la suite réelle \left(\left|u_{n}\right|\right) est majorée.
Proposition :
Soit \left(u_{n}\right) une suite complexe.
La suite \left(u_{n}\right) est bornée si et seulement si les suites \left(\operatorname{Re}\left(u_{n}\right)\right) et \left(\operatorname{Im}\left(u_{n}\right)\right) sont bornées.
Définition :
Soit \left(u_{n}\right) une suite complexe et l \in \mathbb{C}.
On dit que \left(u_{n}\right) converge vers l (ou admet l pour limite) lorsque : \forall \varepsilon>0, \exists n_{0} \in \mathbb{N}, \forall n \in \mathbb{N}, n \geq n_{0} \Rightarrow\left|u_{n}-l\right|<\varepsilon.
Ou bien d’une façon abrégée : \forall \varepsilon>0, \exists n_{0} \in \mathbb{N}, \forall n \geq n_{0},\left|u_{n}-l\right|<\varepsilon.
Remarque :
i) Pour une suite complexe on ne parle pas de limite égale à -\infty ou à +\infty.
ii) Une suite complexe \left(u_{n}\right) converge vers l \in \mathbb{C} si et seulement si la suite réelle \left(\left|u_{n}-l\right|\right) converge vers 0 .
Proposition :
Soit \left(u_{n}\right) une suite complexe et l \in \mathbb{C}.
\lim u_{n}=l \Leftrightarrow \lim \operatorname{Re}\left(u_{n}\right)=\operatorname{Re}(l) et \lim \operatorname{Im}\left(u_{n}\right)=\operatorname{Im}(l).
Étudier la convergence de la suite \left(u_{n}\right) dans les cas suivants :
1) \forall n \in \mathbb{N}^{*}, u_{n}=1-\frac{\sin n}{n}+\frac{n}{n+1} i
2) \forall n \in \mathbb{N}, u_{n}=n+i e^{-n}
3) \forall n \in \mathbb{N}, u_{n}=\frac{(1+i)^{n}}{2^{n}}
Proposition :
Soit \left(u_{n}\right) une suite complexe qui converge vers l \in \mathbb{C}, alors la suite \left(\left|u_{n}\right|\right) converge vers |l|.
Remarque : La réciproque est fausse.
Corollaire :
Toute suite complexe convergente est bornée.
Soit \lambda \in \mathbb{C}, étudier la convergence de la suite \left(u_{n}\right) définie par \forall n \in \mathbb{N}, u_{n}=\lambda^{n}.
Opérations sur les suites convergentes :
Soit \left(u_{n}\right) et \left(v_{n}\right) deux suites numériques à valeurs dans \mathbb{C} qui convergent respectivement vers deux nombres complexes l_{1} et l_{2}. Soit a, b \in \mathbb{C}. Alors :
i) \quad a u_{n}+b v_{n} \underset{n \rightarrow+\infty}{\longrightarrow} a l_{1}+b l_{2}.
ii) \quad u_{n} v_{n} \underset{n \rightarrow+\infty}{\longrightarrow} l_{1} l_{2}.
iii) Si de plus l_{2} \neq 0, alors à partir d’un certain rang tous les v_{n} sont non nuls et \frac{u_{n}}{v_{n}} \underset{n \rightarrow+\infty}{\longrightarrow} \frac{l_{1}}{l_{2}}
Théorème de Bolzano Weierstrass (Cas complexe) :
De toute suite complexe bornée on peut extraire une suite convergente.
1) Suites arithmétiques
On appelle suite arithmétique de raison r \in \mathbb{C}, tote suite complexe \left(u_{n}\right) vérifiant: \forall n \in \mathbb{N}, u_{n+1}=u_{n}+r.
On montre par récurrence que \forall n \in \mathbb{N}, u_{n}=u_{0}+n r et \forall n \in \mathbb{N}, \forall p \in \mathbb{N}, u_{n}=u_{p}+(n-p) r.
2) Suites géométriques
On appelle suite arithmétique de raison q \in \mathbb{C}, toute suite complexe \left(u_{n}\right) vérifiant : \forall n \in \mathbb{N}, u_{n+1}=q u_{n}.
On montre par récurrence que \forall n \in \mathbb{N}, u_{n}=q^{n} u_{0} et \forall n \in \mathbb{N}, \forall p \in \mathbb{N}, u_{n}=q^{n-p} u_{p}.
3) Suite arithmético-géométrique
On appelle suite arithmético-géométrique toute suite complexe \left(u_{n}\right) vérifiant une relation de récurrence de la forme :
\forall n \in \mathbb{N}, u_{n+1}=a u_{n}+b où (a, b) \in \mathbb{C}^{*} \times \mathbb{C}.
Méthode d’étude d’une suite arithmético-géométrique :
On considère une suite \left(u_{n}\right) vérifiant : \forall n \in \mathbb{N}, u_{n+1}=a u_{n}+b où (a, b) \in \mathbb{C}^{*} \times \mathbb{C}. On suit les étapes suivantes :
- On note \omega la solution dans \mathbb{C} de l’équation x=a x+b.
- On considère la suite \left(v_{n}\right) définie par \forall n \in \mathbb{N}, v_{n}=u_{n}-\omega.
- On montre que \left(v_{n}\right) est une suite géométrique de raison a.
- On en déduit une expression de u_{n} en fonction de n.
On considère la suite \left(u_{n}\right) définie par : u_{0}=i et \forall n \in \mathbb{N}, u_{n+1}=2 u_{n}+i. Déterminer l’expression du terme général de \left(u_{n}\right).
4) Suite récurrente linéaire homogène d’ordre 2 à coefficients constants
On appelle suite récurrente linéaire homogène d’ordre 2 à coefficients constants, toute suite complexe vérifiant une relation de récurrence de la forme: (\mathcal{R}) \forall n \in \mathbb{N}, u_{n+2}=a u_{n+1}+b u_{n} où (a, b) \in \mathbb{C} \times \mathbb{C}^{*}.
Proposition (Expression dans le cas complexe) :
Soit \left(u_{n}\right) une suite complexe vérifiant : \forall n \in \mathbb{N}, u_{n+2}=a u_{n+1}+b u_{n} où (a, b) \in \mathbb{C} \times \mathbb{C}^{*}.
On introduit l’équation (E): x^{2}=a x+b appelée équation caractéristique, et on note (\Delta) le discriminant de (E) :
1^{\text {er }} cas : Si \Delta=0 :
(E) possède une unique solution r.
Les suites complexes vérifiant la relation (\mathcal{R}) sont les suites dont les termes généraux sont de la forme (\lambda n+\mu) r^{n} avec (\lambda, \mu) \in \mathbb{C}^{2}.
2^{\text {ème }} cas : Si \Delta \neq 0 :
(E) possède deux solutions r_{1} et r_{2}.
Les suites complexes vérifiant la relation (\mathcal{R}) sont les suites dont les termes généraux sont de la forme \lambda r_{1}^{n}+\mu r_{2}^{n} avec (\lambda, \mu) \in \mathbb{C}^{2}.
On considère la suite définie par u_{0}=0 ; u_{1}=1 et \forall n \in \mathbb{N}, u_{n+2}=i u_{n+1}-2 u_{n}.
Déterminer l’expression du terme général de \left(u_{n}\right).
Proposition (Expression dans le cas réel) :
Soit \left(u_{n}\right) une suite réelle vérifiant : \forall n \in \mathbb{N}, u_{n+2}=a u_{n+1}+b u_{n} où (a, b) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R}^{*}.
On introduit l’équation (E): x^{2}=a x+b appelée équation caractéristique, et on note (\Delta) le discriminant de (E) :
1^{e r} cas : Si \Delta=0 :
(E) possède une unique solution r.
Les suites réelles vérifiant la relation (\mathcal{R}) sont les suites dont les termes généraux sont de la forme (\lambda n+\mu) r^{n} avec (\lambda, \mu) \in \mathbb{R}^{2}.
2^{\text {ème }} cas : Si \Delta>0 :
(E) possède deux solutions r_{1} et r_{2}.
Les suites réelles vérifiant la relation (\mathcal{R}) sont les suites dont les termes généraux sont de la forme \lambda r_{1}^{n}+\mu r_{2}^{n} avec (\lambda, \mu) \in \mathbb{R}^{2}.
3^{\text {ème }} cas : Si \Delta<0 :
(E) possède deux solutions complexes conjuguées. On note r e^{i \theta} l’une d’elles avec \left.(r, \theta) \in\right] 0 ;+\infty[\times \mathbb{R}.
Les suites réelles vérifiant la relation (\mathcal{R}) sont les suites dont les termes généraux sont de la forme :
r^{n}(\lambda \cos (n \theta)+\mu \sin (n \theta)) avec (\lambda, \mu) \in \mathbb{R}^{2}.
On considère la suite de Fibonacci définie par F_{0}=0 ; F_{1}=1 et \forall n \in \mathbb{N}, F_{n+2}=F_{n+1}+F_{n}.
Déterminer l’expression du terme général de \left(F_{n}\right).