Soit n \in \mathbb{N}. Calculer les sommes suivantes :
1) \sum_{1 \leq i, j \leq n} i
2) \sum_{1 \leq i<j \leq n} i j
3) \sum_{1 \leq i, j \leq n}|i-j|
4) \sum_{1 \leq i, j \leq n}(i+j)^{2}
5) \sum_{0 \leq i, j \leq n}\binom{i}{j}
6) \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+1)}
Soit \left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} une suite de nombres réels.
1) Montrer que \forall n \in \mathbb{N}^{*},\left(\sum_{k=1}^{n} a_{k}\right)^{2}=\sum_{k=1}^{n} a_{k}^{2}+2 \sum_{1 \leq i<j \leq n} a_{i} a_{j}.
2) Quel résultat bien connu cette formule généralise-t-elle ?
Soit n \in \mathbb{N}^{*} et x_{1}, \ldots, x_{n} \in \mathbb{R}. On suppose que \sum_{k=1}^{n} x_{k}=\sum_{k=1}^{n} x_{k}^{2}=n.
Montrer que \forall k \in \llbracket 1, n \rrbracket, x_{k}=1.
Soit n \geq 2 un entier naturel et \left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}, x_{n+1}\right) \in \mathbb{R}^{n+1} avec x_{n+1}=x_{1}.
Prouver que x_{1}=x_{2}=\cdots=x_{n} \Leftrightarrow \sum_{k=1}^{n} x_{k}^{2}=\sum_{k=1}^{n} x_{k} x_{k+1}.
Montrer que \forall n \in \mathbb{N}^{*}, \quad \prod_{k=1}^{n}(4 k-2)=\prod_{k=1}^{n}(n+k).
Soit p \in \mathbb{N}, Démontrer que p! divise tout produit de \mathrm{p} entiers naturels consécutifs.
Soit n, p \in \mathbb{N} tel que n \geq p.
Démontrer que \sum_{k=p}^{n} \binom{k}{p}=\left(\begin{array}{l}n+1 \\ p+1\end{array}\right).
Soit \mathrm{p} un nombre premier. Montrer que \forall k \in \llbracket 2, p-1 \rrbracket, p| \binom{p}{k}
Calculer pour tout n \in \mathbb{N}^{*} les sommes suivantes :
1) \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k}
2) \sum_{k=0}^{n} k\binom{n}{k}
3) \sum_{k=0}^{n} k^{2}\binom{n}{k}
4) \sum_{k=0}^{n} k(k-1)\binom{n}{k}
Pour tout n \in \mathbb{N}, \quad on pose A_{n}=\sum_{k=0}^{n}\binom{2n+1}{2k} et B_{n}=\sum_{k=0}^{n}\binom{2n+1}{2k+1}
Calculer A_{n} et B_{n} pour tout n \in \mathbb{N}.
Soit n, p, q \in \mathbb{N}, tels que n \leq p+q. Montrer que \sum_{k=0}^{n}\binom{p}{k} \binom{q}{n-k}=\binom{p+q}{n}
Soit n, p \in \mathbb{N}^{*}.
1) Calculer \sum_{k=0}^{n}\binom{p+k}{k}
2) Calculer \sum_{i=0}^{n}\left(\prod_{j=1}^{p}(i+j)\right)
Soit n \in \mathbb{N}. Calculer \sum_{k=0}^{n} \arctan \left(\frac{1}{k^{2}+k+1}\right).