Le cours limites et continuité MPSI MP2I est conforme au nouveau programme de maths en prépa des filières MPSI et MP2I.
Sauf mention explicite du contraire, toutes les fonctions considérées dans cette partie, et en particulier la fonction f, sont définies sur un intervalle I de \mathbb{R} non vide et non réduit à un point et sont à valeurs réelles. Le point a considéré par la suite est toujours élément de I ou une extrémité de I.
1) Voisinage
Définition :
- Soit a \in \mathbb{R}, on appelle voisinage de a toute partie \mathcal{V} de \mathbb{R} qui contient un intervalle du type ] a-\eta, a+\eta[ où \eta>0. On note \mathcal{V}(a) l’ensemble des voisinages de a.
- On appelle voisinage de +\infty toute partie \mathcal{V} de \mathbb{R} qui contient un intervalle du type [A,+\infty[ où A \in \mathbb{R}. On note \mathcal{V}(+\infty) l’ensemble des voisinages de +\infty.
- On appelle voisinage de -\infty toute partie \mathcal{V} de \mathbb{R} qui contient un intervalle du type ]-\infty, A] où A \in \mathbb{R}. On note \mathcal{V}(-\infty) l’ensemble des voisinages de -\infty.
- \mathbb{R} est un voisinage de tout nombre réel et c’est un voisinage de +\infty et de -\infty.
- ]-\infty, 0] est un voisinage de -\infty.
- [1, +\infty[ est un voisinage de +\infty.
- ]-1, 1[ est un voisinage de 0.
- \mathbb{R}^* n’est pas un voisinage de 0.
2) Notion de limite
Définition : Soit l \in \overline{\mathbb{R}}.
On dit que f tend vers l quand x tend vers a lorsque : \forall W \in \mathcal{V}(l), \exists V \in \mathcal{V}(a), \forall x \in I \cap V, f(x) \in W.
On note dans ce cas f(x) \underset{x \rightarrow a}{\rightarrow} l.
On suppose ici que a \in \mathbb{R} et l \in \mathbb{R}. Traduire par les quantificateurs ce qui suit :
1) f(x) \rightarrow l \quad;
2) f(x) \rightarrow+\infty;
3) f(x) \rightarrow-\infty;
4) f(x) \rightarrow l;
5) f(x) \rightarrow+\infty
6) f(x) \underset{x \rightarrow+\infty}{\longrightarrow}-\infty
7) f(x) \underset{x \rightarrow-\infty}{\rightarrow} l
8) f(x) \underset{x \rightarrow-\infty}{\longrightarrow+\infty}
9) f(x) \underset{x \rightarrow+\infty}{\rightarrow}-\infty
Unicité de la limite : Soit l, l^{\prime} \in \overline{\mathbb{R}}. Si f(x) \underset{x \rightarrow a}{\rightarrow} l et f(x) \underset{x \rightarrow a}{\rightarrow} l^{\prime} alors l=l^{\prime}.
On dit dans ce cas que l est la limite de f en a et on écrit l=\underset{x \rightarrow a} \lim f(x).
Proposition : \operatorname{Si} f est définie en a et f possède une limite finie l(\in \mathbb{R}) en a, alors l=f(a).
Proposition : \operatorname{Si} f possède une limite finie en a(a \in \overline{\mathbb{R}}) alors f est bornée au voisinage de a.
Définition : On appelle intérieur d’un intervalle I et on note \mathring{I}={x \in I / x n’ est pas une extrémité de I }
Définition : Soit a \in \mathring{I} et l \in \overline{\mathbb{R}}.
i) On dit que f admet l comme limite à droite en a, et on note \underset{x \underset{x>a} \rightarrow a }\lim f(x) ou \underset{x \rightarrow a^{+}}\lim f(x) lorsque la fonction f_{\mid I \cap]} a,+\infty[ admet l comme limite en a.
ii) On dit que f admet l comme limite à gauche en a, et on note \underset{x \underset{x<a} \rightarrow a }\lim f(x) ou \underset{x \rightarrow a^{-}}\lim f(x) lorsque la fonction f_{\mid I \cap]-\infty, a[} admet l comme limite en a.
Proposition : Soit a \in \mathring{I} et l \in \mathbb{R} .
\underset{x \rightarrow a} \lim f(x)=l \Leftrightarrow \underset{x \rightarrow a^{-}}\lim f(x)=\underset{x \rightarrow a^{+}}\lim f(x)=l=f(a).
Définition (Extension de la notion de limite en a lorsque f est définie sur I \backslash\{a\} ) :
On suppose que f est définie sur I \backslash\{a\} avec a \in \mathring{I}.
On dit que f admet l comme limite en a et on écrit \underset{x \underset{x \neq a} \rightarrow a }\lim f(x)=l si et seulement si \underset{x \rightarrow a^{-}}\lim f(x)=\underset{x \rightarrow a^{+}}\lim f(x)=f(a).
Caractérisation séquentielle de la limite : Soit l \in \overline{\mathbb{R}}.
f(x) \underset{x \rightarrow a}{\rightarrow} l \Leftrightarrow\left(\forall\left(x_{n}\right) \in I^{\mathbb{N}}, \, \, x_{n} \underset{n \rightarrow+\infty}{\rightarrow} \Rightarrow f\left(x_{n}\right) \underset{n \rightarrow+\infty}{\rightarrow}\right)
Corollaire 1 :
i) S’il existe \left(x_{n}\right) \in I^{\mathbb{N}} telle que x_{n} \rightarrow a et \left(f\left(x_{n}\right)\right) est divergente alors f n’admet pas de limite en a.
ii) S’il existe \left(x_{n}\right),\left(y_{n}\right) \in I^{\mathbb{N}} telles que \lim x_{n}=\lim y_{n}=a et \lim f\left(x_{n}\right) \neq \lim f\left(y_{n}\right) alors f n’admet pas de limite en a.
Montrer que la fonction f définie pour tout x \in \mathbb{R} par f(x)=x-\lfloor x\rfloor n’admet pas de limite en +\infty
Montrer que la fonction \cos n’admet pas de limite en +\infty.
Montrer que la fonction f: \mathbb{R}^{*} \rightarrow \mathbb{R} n’admet pas de limite en 0 .