Montrer que : \forall(x, y) \in \mathbb{R}^{2},\lfloor x\rfloor+\lfloor y\rfloor \leq\lfloor x+y\rfloor \leq\lfloor x\rfloor+\lfloor y\rfloor+1.
1) Montrer que: \forall n \in \mathbb{N}^{*}, \forall x \in \mathbb{R},\left\lfloor\frac{\lfloor n x\rfloor}{n}\right\rfloor=\lfloor x\rfloor.
2) Soit n, p, m trois entiers naturels non nuls et x un réel. Montrer que \left\lfloor\frac{x}{m n p}\right\rfloor=\left\lfloor\frac{1}{n}\left\lfloor\frac{1}{m}\left\lfloor\frac{x}{p} \right\rfloor \right\rfloor \right\rfloor .
Montrer que : \forall n \in \mathbb{N}^{*}, \forall x \in \mathbb{R}, \sum_{k=0}^{n-1}\left\lfloor x+\frac{k}{n}\right\rfloor=\lfloor n x\rfloor.
Soit a et b, deux rationnels positifs tels que \sqrt{a} et \sqrt{b} soient irrationnels. Montrer que \sqrt{a}+\sqrt{b} est irrationnel.
Soit p un nombre premier. Montrer que \sqrt{p} \notin \mathbb{Q}
Soit A=\left\{\frac{1}{n}+\frac{1}{m} /(n, m) \in\left(\mathbb{N}^{*}\right)^{2}\right\}.
1) Montrer que A est bornée.
2) Déterminer la borne supérieure et la borne inférieure de A.
Soit A=\left\{ \frac{x}{x \left\lfloor x \right\rfloor} / x \in[1,+\infty[ \right\}.
1) Montrer que A est bornée.
2) Déterminer la borne supérieure et la borne inférieure de A.
Soit A une partie non vide et bornée de \mathbb{R}. Montrer que \sup _{(x, y) \in A^{2}}|x-y|=\sup (A)-\inf (A)
Soit A une partie majorée de \mathbb{R} d’au moins deux éléments et a un élément de A.
1) Montrer que si \sup (A \backslash\{a\})>a alors, \sup (A \backslash\{a\})=\sup (A).
2) Montrer que \operatorname{si} \sup (A \backslash\{a\})<\sup (A) alors, \sup (A)=a.
Soit \mathbb{D} l’ensemble suivant : \mathbb{D}=\left\{\frac{m}{2^{n}} /(m, n) \in \mathbb{Z} \times \mathbb{N}\right\}
1) Montrer que si \forall(a, b) \in \mathbb{R}^{2},\quad a+1<b \Rightarrow \exists q \in \mathbb{Z}, a<q<b.
2) Montrer que : \forall \varepsilon>0, \exists n \in \mathbb{N}, 1<2^{n} \varepsilon.
3) En déduire que: \forall(x, y) \in \mathbb{R}^{2}, x<y \Rightarrow \exists n \in \mathbb{N}, 2^{n} x+1<2^{n} y.
4) Montrer que \mathbb{D} est dense dans \mathbb{R}.
Soit f: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N} une application telle que : \forall n \in \mathbb{N}, f(f(n))<f(n+1).
On veut montrer que f=I d_{\mathbb{N}}.
1) Montrer que \forall n \in \mathbb{N}, \forall x \geq n, f(x) \geq n.
2) Soit n un entier naturel. Montrer que f(n) est le plus petit élément de \{f(x) / x \geq n\}.
3) En déduire que f est strictement croissante, puis conclure.