Soit n∈N. Calculer les sommes suivantes :
1) ∑1≤i,j≤ni.
2) ∑1≤i<j≤nij.
3) ∑1≤i,j≤n∣i−j∣.
4) ∑1≤i,j≤n(i+j)2.
5) ∑0≤i,j≤n(ji).
6) ∑k=1nk(k+1)1
Soit (an)n∈N une suite de nombres réels.
1) Montrer que ∀n∈N∗,(∑k=1nak)2=∑k=1nak2+2∑1≤i<j≤naiaj.
2) Quel résultat bien connu cette formule généralise-t-elle ?
Soit n∈N∗ et x1,…,xn∈R. On suppose que ∑k=1nxk=∑k=1nxk2=n.
Montrer que ∀k∈[[1,n]],xk=1.
Soit n≥2 un entier naturel et (x1,x2,…,xn,xn+1)∈Rn+1 avec xn+1=x1.
Prouver que x1=x2=⋯=xn⇔∑k=1nxk2=∑k=1nxkxk+1.
Montrer que ∀n∈N∗,∏k=1n(4k−2)=∏k=1n(n+k).
Soit p∈N. Démontrer que p! divise tout produit de p entiers naturels consécutifs.
Soit n,p∈N tel que n≥p. Démontrer que ∑k=pn(pk)=(p+1n+1).
Soit p un nombre premier. Montrer que ∀k∈[[2,p−1]],p∣(kp).
Calculer pour tout n∈N∗ les sommes suivantes :
1) ∑k=0n(kn).
2) ∑k=0nk(kn).
3) ∑k=0nk2(kn).
4) ∑k=0nk(k−1)(kn).
Pour tout n∈N, on pose An=∑k=0n(2k2n+1) et Bn=∑k=0n(2k+12n+1).
Calculer An et Bn pour tout n∈N.
Soit n,p,q∈N, tels que n≤p+q.
Montrer que ∑k=0n(kp)(n−qq)=(np+q).
Soit n,p∈N∗.
1) Calculer ∑k=0n(kp+k).
2) Calculer ∑i=0n(∏j=1p(i+j)).
Soit n∈N. Calculer ∑k=0narctan(k2+k+11).
Soit n∈N∗. On considère le polynôme P(X)=∑l=0n−1alXl où les al∈C.
Pour tout k∈[[0;n−1]] on pose ωk=en2ikπ.
On pose M=maxk∈[[0;n−1]]∣P(ωk)∣=maxz∈Un∣P(z)∣.
1) Pour tout j∈[[0;n−1]], calculer ∑k=0n−1ωk−jP(ωk).
2) En déduire que ∀j∈[[0;n−1]],∣aj∣≤M.