Soit n \in \mathbb{N}. Calculer les sommes suivantes :
1) \sum_{1 \leq i, j \leq n} i.
2) \sum_{1 \leq i<j \leq n} i j.
3) \sum_{1 \leq i, j \leq n}|i-j|.
4) \sum_{1 \leq i, j \leq n}(i+j)^{2}.
5) \sum_{0 \leq i, j \leq n}\binom{i}{j} .
6) \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+1)}
Soit \left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} une suite de nombres réels.
1) Montrer que \forall n \in \mathbb{N}^{*},\left(\sum_{k=1}^{n} a_{k}\right)^{2}=\sum_{k=1}^{n} a_{k}^{2}+2 \sum_{1 \leq i<j \leq n} a_{i} a_{j}.
2) Quel résultat bien connu cette formule généralise-t-elle ?
Soit n \in \mathbb{N}^{*} et x_{1}, \ldots, x_{n} \in \mathbb{R}. On suppose que \sum_{k=1}^{n} x_{k}=\sum_{k=1}^{n} x_{k}^{2}=n.
Montrer que \forall k \in \llbracket 1, n \rrbracket, x_{k}=1.
Soit n \geq 2 un entier naturel et \left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}, x_{n+1}\right) \in \mathbb{R}^{n+1} avec x_{n+1}=x_{1}.
Prouver que x_{1}=x_{2}=\cdots=x_{n} \Leftrightarrow \sum_{k=1}^{n} x_{k}^{2}=\sum_{k=1}^{n} x_{k} x_{k+1}.
Montrer que \forall n \in \mathbb{N}^{*}, \quad \prod_{k=1}^{n}(4 k-2)=\prod_{k=1}^{n}(n+k).
Soit p \in \mathbb{N}. Démontrer que p! divise tout produit de \mathrm{p} entiers naturels consécutifs.
Soit n, p \in \mathbb{N} tel que n \geq p. Démontrer que \sum_{k=p}^{n}\binom{k}{p}=\binom{n+1}{p+1}.
Soit \mathrm{p} un nombre premier. Montrer que \forall k \in \llbracket 2, p-1 \rrbracket, p \mid\binom{p}{k}.
Calculer pour tout n \in \mathbb{N}^{*} les sommes suivantes :
1) \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k}.
2) \sum_{k=0}^{n} k \binom{n}{k}.
3) \sum_{k=0}^{n} k^{2}\binom{n}{k}.
4) \sum_{k=0}^{n} k(k-1)\binom{n}{k}.
Pour tout n \in \mathbb{N}, \quad on pose A_{n}=\sum_{k=0}^{n}\binom{2n+1}{2k} et B_{n}=\sum_{k=0}^{n}\binom{2n+1}{2k+1}.
Calculer A_{n} et B_{n} pour tout n \in \mathbb{N}.
Soit n, p, q \in \mathbb{N}, tels que n \leq p+q.
Montrer que \sum_{k=0}^{n}\binom{p}{k} \binom{q}{n-q}=\binom{p+q}{n}.
Soit n, p \in \mathbb{N}^{*}.
1) Calculer \sum_{k=0}^{n}\binom{p+k}{k}.
2) Calculer \sum_{i=0}^{n}\left(\prod_{j=1}^{p}(i+j)\right).
Soit n \in \mathbb{N}. Calculer \sum_{k=0}^{n} \arctan \left(\frac{1}{k^{2}+k+1}\right).
Soit n \in \mathbb{N}^{*}. On considère le polynôme P(X)=\sum_{l=0}^{n-1} a_{l} X^{l} où les a_{l} \in \mathbb{C}.
Pour tout k \in \llbracket 0 ; n-1 \rrbracket on pose \omega_{k}=e^{\frac{2 i k \pi}{n}}.
On pose M=\max _{k \in \llbracket 0 ; n-1 \rrbracket}\left|P\left(\omega_{k}\right)\right|=\max _{z \in \mathbb{U}_{n}}|P(z)|.
1) Pour tout j \in \llbracket 0 ; n-1 \rrbracket, calculer \sum_{k=0}^{n-1} \omega_{k}^{-j} P\left(\omega_{k}\right).
2) En déduire que \forall j \in \llbracket 0 ; n-1 \rrbracket,\left|a_{j}\right| \leq M.