Soit n∈Nn \in \mathbb{N}. Calculer les sommes suivantes :
1) ∑1≤i,j≤ni\sum_{1 \leq i, j \leq n} i.
2) ∑1≤i<j≤nij\sum_{1 \leq i<j \leq n} i j.
3) ∑1≤i,j≤n∣i−j∣\sum_{1 \leq i, j \leq n}|i-j|.
4) ∑1≤i,j≤n(i+j)2\sum_{1 \leq i, j \leq n}(i+j)^{2}.
5) ∑0≤i,j≤n(ij)\sum_{0 \leq i, j \leq n}\binom{i}{j} .
6) ∑k=1n1k(k+1)\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+1)}


Soit (an)n∈N\left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} une suite de nombres réels.
1) Montrer que ∀n∈N∗,(∑k=1nak)2=∑k=1nak2+2∑1≤i<j≤naiaj\forall n \in \mathbb{N}^{*},\left(\sum_{k=1}^{n} a_{k}\right)^{2}=\sum_{k=1}^{n} a_{k}^{2}+2 \sum_{1 \leq i<j \leq n} a_{i} a_{j}.
2) Quel résultat bien connu cette formule généralise-t-elle ?


Soit n∈N∗n \in \mathbb{N}^{*} et x1,…,xn∈Rx_{1}, \ldots, x_{n} \in \mathbb{R}. On suppose que ∑k=1nxk=∑k=1nxk2=n\sum_{k=1}^{n} x_{k}=\sum_{k=1}^{n} x_{k}^{2}=n.
Montrer que ∀k∈⟦1,n⟧,xk=1\forall k \in \llbracket 1, n \rrbracket, x_{k}=1.

Soit n≥2n \geq 2 un entier naturel et (x1,x2,…,xn,xn+1)∈Rn+1\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}, x_{n+1}\right) \in \mathbb{R}^{n+1} avec xn+1=x1x_{n+1}=x_{1}.
Prouver que x1=x2=⋯=xn⇔∑k=1nxk2=∑k=1nxkxk+1x_{1}=x_{2}=\cdots=x_{n} \Leftrightarrow \sum_{k=1}^{n} x_{k}^{2}=\sum_{k=1}^{n} x_{k} x_{k+1}.


Montrer que ∀n∈N∗,∏k=1n(4k−2)=∏k=1n(n+k)\forall n \in \mathbb{N}^{*}, \quad \prod_{k=1}^{n}(4 k-2)=\prod_{k=1}^{n}(n+k).


Soit p∈Np \in \mathbb{N}. Démontrer que p!p! divise tout produit de p\mathrm{p} entiers naturels consécutifs.


Soit n,p∈Nn, p \in \mathbb{N} tel que n≥pn \geq p. Démontrer que ∑k=pn(kp)=(n+1p+1)\sum_{k=p}^{n}\binom{k}{p}=\binom{n+1}{p+1}.


Soit p\mathrm{p} un nombre premier. Montrer que ∀k∈⟦2,p−1⟧,p∣(pk)\forall k \in \llbracket 2, p-1 \rrbracket, p \mid\binom{p}{k}.


Calculer pour tout n∈N∗n \in \mathbb{N}^{*} les sommes suivantes :
1) ∑k=0n(nk)\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k}.
2) ∑k=0nk(nk)\sum_{k=0}^{n} k \binom{n}{k}.
3) ∑k=0nk2(nk)\sum_{k=0}^{n} k^{2}\binom{n}{k}.
4) ∑k=0nk(k−1)(nk)\sum_{k=0}^{n} k(k-1)\binom{n}{k}.


Pour tout n∈N,n \in \mathbb{N}, \quad on pose An=∑k=0n(2n+12k)A_{n}=\sum_{k=0}^{n}\binom{2n+1}{2k} et Bn=∑k=0n(2n+12k+1)B_{n}=\sum_{k=0}^{n}\binom{2n+1}{2k+1}.
Calculer AnA_{n} et BnB_{n} pour tout n∈Nn \in \mathbb{N}.


Soit n,p,q∈Nn, p, q \in \mathbb{N}, tels que n≤p+qn \leq p+q.
Montrer que ∑k=0n(pk)(qn−q)=(p+qn)\sum_{k=0}^{n}\binom{p}{k} \binom{q}{n-q}=\binom{p+q}{n}.


Soit n,p∈N∗n, p \in \mathbb{N}^{*}.
1) Calculer ∑k=0n(p+kk)\sum_{k=0}^{n}\binom{p+k}{k}.
2) Calculer ∑i=0n(∏j=1p(i+j))\sum_{i=0}^{n}\left(\prod_{j=1}^{p}(i+j)\right).


Soit n∈Nn \in \mathbb{N}. Calculer ∑k=0narctan⁡(1k2+k+1)\sum_{k=0}^{n} \arctan \left(\frac{1}{k^{2}+k+1}\right).


Soit n∈N∗n \in \mathbb{N}^{*}. On considère le polynôme P(X)=∑l=0n−1alXlP(X)=\sum_{l=0}^{n-1} a_{l} X^{l} où les al∈Ca_{l} \in \mathbb{C}.
Pour tout k∈⟦0;n−1⟧k \in \llbracket 0 ; n-1 \rrbracket on pose ωk=e2ikπn\omega_{k}=e^{\frac{2 i k \pi}{n}}.
On pose M=max⁡k∈⟦0;n−1⟧∣P(ωk)∣=max⁡z∈Un∣P(z)∣M=\max _{k \in \llbracket 0 ; n-1 \rrbracket}\left|P\left(\omega_{k}\right)\right|=\max _{z \in \mathbb{U}_{n}}|P(z)|.
1) Pour tout j∈⟦0;n−1⟧j \in \llbracket 0 ; n-1 \rrbracket, calculer ∑k=0n−1ωk−jP(ωk)\sum_{k=0}^{n-1} \omega_{k}^{-j} P\left(\omega_{k}\right).
2) En déduire que ∀j∈⟦0;n−1⟧,∣aj∣≤M\forall j \in \llbracket 0 ; n-1 \rrbracket,\left|a_{j}\right| \leq M.