Ce cours de calculs algébriques est conforme au programme des classes prépa de la filière MPSI et la filière MP2I. 

Dans toute cette partie, et sauf mention explicite du contraire, I est un ensemble fini et \left(a_{i}\right)_{i \in I} est une famille de nombres réels ou complexes.

1) Notations des sommes et produits

  • On note \sum_{i \in I} a_{i} la somme des éléments de la famille \left(a_{i}\right)_{i \in I}.
  • On note \prod_{i \in I} a_{i} le produit des éléments de la famille \left(a_{i}\right)_{i} \in I.
  • Lorsque I=\emptyset, on convient que \sum_{i \in I} a_{i}=0 et \prod_{i \in I} a_{i}=1.
  • Lorsque I=\llbracket p, q \rrbracket avec p, q \in \mathbb{N} tel que p \leq q. On note :
    \sum_{i \in I} a_{i}=\sum_{p \leq i \leq q} a_{i}=\sum_{i=p}^{q} a_{i}=a_{p}+a_{p+1}+\cdots+a_{q}.
    \prod_{i \in I} a_{i}=\prod_{p \leq i \leq q} a_{i}=\prod_{i=p}^{q} a_{i}=a_{p} \times a_{p+1} \times \cdots \times a_{q}.

Peut-on changer les indices dans les sommes et les produits ?

L’indice i utilisé dans \sum_{i \in I} a_{i} et dans \prod_{i \in I} a_{i} est un indice muet, c’est-à-dire qu’on peut le remplacer par n’importe quel autre symbole mon utilisé par ailleurs.
Par exemple, on a :
\sum_{i \in I} a_{i}=\sum_{j \in I} a_{j}=\sum_{k \in I} a_{k}.
\prod_{i \in I} a_{i}=\prod_{j \in I} a_{j}=\prod_{k \in I} a_{k}.

Sommes classiques :

On démontre par récurrence que pour tout n \in \mathbb{N}^{*} :

  • \sum_{k=1}^{n} k=\frac{n(n+1)}{2}.
  • \sum_{k=1}^{n} k^{2}=\frac{n(n+1)(2 n+1)}{6}.
  • \sum_{k=1}^{n} k^{3}=\frac{n^{2}(n+1)^{2}}{4}

Le symbole factoriel

\forall n \in \mathbb{N}, n!=\prod_{k \in \llbracket 1, n \rrbracket} k.
Donc lorsque n \in \mathbb{N}^{*}, n !=\prod_{k=1}^{n} k=1 \times 2 \times \cdots \times n.
0!=\prod_{k \in \llbracket 0,1 \rrbracket} k=\prod_{k \in \emptyset} k=1

2) Propriétés des sommes et des produits :

Soit \left(b_{i}\right)_{i \in I} une famille de nombres complexes, \lambda \in \mathbb{C} et p, q \in \mathbb{N} tel que p \leqslant q.
1-i) Linéarité de la somme : \sum_{i \in I}\left(a_{i}+b_{i}\right)=\sum_{i \in I} a_{i}+\sum_{i \in I} b_{i} et \sum_{i \in I} \lambda a_{i}=\lambda \sum_{i \in I} a_{i}
1-ii) \sum_{i \in I} \lambda=\lambda \operatorname{card}(I) et \sum_{i=p}^{q} \lambda=(q-p+1) \lambda
2-i) \prod_{i \in I} a_{i} b_{i}=\left(\prod_{i \in I} a_{i}\right)\left(\prod_{i \in I} b_{i}\right)
2-ii) \prod_{i \in I} \lambda a_{i}=\lambda^{\operatorname{card}(I)} \prod_{i \in I} a_{i}
2-iii) On suppose que \forall i \in I, b_{i} \neq 0. Alors : \prod_{i \in I} \frac{a_{i}}{b_{i}}=\frac{\prod_{i \in I} a_{i}}{\prod_{i \in I} b_{i}}
2-iv) \prod_{i \in I} \lambda=\lambda^{\mathrm{card}(\mathrm{I})} et \prod_{i=p}^{q} \lambda=\lambda^{q-p+1}

Soit n \in \mathbb{N}^{*}. Calculer S_{n}=\sum_{k=1}^{n}(2 k+1)^{2}

S_{n} =\sum_{k=1}^{n}(2 k+1)^{2}=\sum_{k=1}^{n}\left(4 k^{2}+4 k+1\right)
\quad=4 \sum_{k=1}^{n} k^{2}+4 \sum_{k=1}^{n} k+\sum_{k=1}^{n} 1 \\
\quad=4 \frac{n(n+1)(2 n+1)}{6}+4 \frac{n(n+1)}{2}+n
S_{n} =\frac{4(n+1)(n+2)+3}{3} n


3) Changement d’indice

Soit \sigma: J \mapsto I une bijection entre deux ensembles finis et non vides :
i) \sum_{j \in J} a_{\sigma(j)}=\sum_{i \in I} a_{i}
ii) \prod_{j \in J} a_{\sigma(j)}=\prod_{i \in I} a_{i}
On dit qu’on a effectué le changement d’indice i=\sigma(j).

Compléter par les termes adéquats :

1) \sum_{k=1}^{n} a_{k}=\sum_{k=0}^{\ldots} a_{\ldots}

2) \sum_{k=0}^{n} a_{k+1}=\sum_{k=\cdots}^{\cdots} a_{k}

3) \sum_{k=0}^{n} a_{k}=\sum_{k=\cdots}^{\cdots} a_{n-k}

4) \sum_{k=0}^{n} a_{k}=\sum_{k=1}^{n} a_{\ldots}

5) \sum_{k=1}^{n} a_{k-1}=\sum_{k=\cdots}^{\ldots} a_{k}

6) \sum_{k=p}^{p+n} a_{k}=\sum_{k=1}^{\ldots} a_{\ldots}

7) \sum_{k=p}^{n} a_{k}=\sum_{k=\cdots}^{n-2} a_{\ldots}


4) Sommes télescopiques, produits télescopiques

Soit p, q \in \mathbb{N} avec p \leqslant q
i) Sommes télescopiques :
\sum_{k=p}^{q}\left(a_{k+1}-a_{k}\right)=a_{q+1}-a_{p}
ii) Produits télescopiques :
Si \forall k \in \llbracket p, q \rrbracket, a_{k} \neq 0 alors : \prod_{k=p}^{q} \frac{a_{k+1}}{a_{k}}=\frac{a_{q+1}}{a_{p}}

  • \sum_{k=p}^{q}\left(a_{k}-a_{k-1}\right)=a_{q}-a_{p-1}.
  • \sum_{k=p}^{q}\left(a_{k+2}-a_{k+3}\right)=a_{p+2}-a_{q+3}.
  • \sum_{k=p}^{q} \frac{a_{k+2}}{a_{k+1}}=\frac{a_{q+2}}{a_{p+1}}.

Soit n \in \mathbb{N}^{*}, Calculer \sum_{k=0}^{n} k . k!


Soit n \in \mathbb{N} \backslash\{0,1\}. On pose P_{n}=\prod_{\mathrm{k}=2}^{n}\left(1-\frac{1}{k}\right).
Calculer P_{n}


5) Regroupement de termes

Pour toute partition \left(I_{k}\right)_{k \in \llbracket 1, p \rrbracket } d’un ensemble non vide I, on a :
i) \quad \sum_{i \in I} a_{i}=\sum_{k=1}^{p}\left(\sum_{i \in I_{k}} a_{i}\right)
ii) \prod_{i \in I} a_{i}=\prod_{k=1}^{p}\left(\prod_{i \in I_{k}} a_{i}\right)

Soit n \in \mathbb{N}^{*}, Calculer S_{n}=\sum_{k=0}^{2 n} \min (k, n)


6) Somme d’une suite arithmétique

Soit \left(u_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} une suite arithmétique d’éléments de \mathbb{C}.
Pour tout n, p \in \mathbb{N} tel que p \leq n, on a : \sum_{k=p}^{n} u_{k}=\frac{U_{p}+U_{n}}{2}(n-p+1)

7) Somme d’une suite géométrique

Soit \left(u_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} une suite géométrique d’éléments de \mathbb{C}, de raison q \in \mathbb{C} \backslash\{1\}.
Pour tout n, p \in \mathbb{N} tel que p \leq n, on a :
i) \sum_{k=p}^{n} q^{k}=q^{p} \frac{1-q^{n-p+1}}{1-q}
ii) \sum_{k=p}^{n} u_{k}=u_{p} \cdot \frac{1-q^{n-p+1}}{1-q}

8) Une identité remarquable

Soit a, b \in \mathbb{C} et n \in \mathbb{N}^{*}. On a :
a^{n}-b^{n}=(a-b) \sum_{k=0}^{n-1} a^{k} b^{n-1-k}

1) Notation d’une somme double

Soit I et J deux ensembles finis et \left(a_{i, j}\right)_{i, j \in I \times J} une famille de nombres complexes :

  • On note \sum_{(i, j) \in I \times J} a_{i, j} la somme des éléments de la famille \left(a_{i, j}\right)_{i, j \in I \times J}
  • Lorsque I=\llbracket p, q \rrbracket et J=\llbracket n, m \rrbracket, on note :
    \sum_{(i, j) \in I \times j} a_{i, j}=\sum_{\substack{p \leqslant i \leqslant q \\ n \leqslant j \leqslant m}} a_{i, j}=\sum_{i=p}^{q}\left(\sum_{j=n}^{m} a_{i, j}\right)=\sum_{j=n}^{m}\left(\sum_{i=p}^{q} a_{i, j}\right)
    On note A la matrice suivante A=\left(\begin{array}{cccc}a_{p, n} & a_{p, n+1} & \cdots & a_{p, m} \\a_{p+1, n} & a_{p+1, n+1} & \cdots & a_{\mathrm{p}+1, \mathrm{~m}} \\\vdots & \vdots & & \vdots \\a_{\mathrm{q}, \mathrm{n}} & a_{\mathrm{q}, \mathrm{n}+1} & \cdots & a_{\mathrm{q}, \mathrm{m}}\end{array}\right)
  • La somme \sum_{i=p}^{a} \sum_{j=n}^{m} a_{i, j} correspond à la somme des coefficients de la matrice A ligne par ligne.
  • La somme \sum_{j=n}^{m} \sum_{i=p}^{q} a_{i, j} correspond à la somme des coefficients de la matrice A colonne par colonne.

Soit n \in \mathbb{N}^{*}. Calculer S_{n}=\sum_{1 \leqslant i, j \leqslant n}(i+j)


2) Produit de deux sommes finies

Soit I et J deux ensembles finis et \left(a_{i}\right)_{i \in I} et \left(b_{j}\right)_{j \in J} deux familles de nombres complexes.
Alors \sum_{(i, j) \in I \times J} a_{i} b_{j}=\left(\sum_{i \in I} a_{i}\right)\left(\sum_{j \in J} b_{j}\right)

Soit n \in \mathbb{N}^{*}. Calculer la somme S_{n}=\sum_{1 \leqslant i, j \leqslant m} i j


3) Sommes triangulaires

Soit n, p \in \mathbb{N} tel que p \leqslant n et \left(a_{i, j}\right)_{1 \leq i, j \leq n} une famille de nombres complexes. On a :
\sum_{p \leqslant i \leqslant j \leqslant n} a_{i j}=\sum_{i=p}^{n} \sum_{j=i}^{n} a_{i j}=\sum_{j=p}^{n} \sum_{i=p}^{j} a_{i j}

Interprétation d’une somme triangulaire

On note T le tableau suivant :\begin{matrix}a_{p, p} & a_{p, p+1} & \ldots &a_{p, n} \\ &a_{p+1, p+1} & \ldots &a_{p+1} \\&& \ddots & \vdots \\&&&a_{n, n} \end{matrix}
\sum_{i=p}^{n} \sum_{j=i}^{m} a_{i j} correspond à la somme des éléments de T ligne par ligne.
\sum_{j=p}^{m} \sum_{i=p}^{j} a_{i j} correspond à la somme des éléments de T colonne par colonne.

Soit n \in \mathbb{N}^{*}. On pose S_{n}=\sum_{1 \leqslant i \leqslant j \leqslant n} \frac{i}{j}. Calculer S_{n}


1) Notation des coefficients binomiaux

Soit n \in \mathbb{N} et k \in \mathbb{Z}
On pose \binom{n}{k}=\left\{\begin{array}{l}\frac{n!}{k!(n-k)!} \text {, si } k\in \llbracket 0, n \rrbracket \\ 0 \text {, sinon } \end{array}\right..
Le coefficient binomial \binom{n}{k} se lit « k parmi n ». On le note aussi C_{n}^{k}.

  • \binom{3}{2}=\frac{3!}{2! \times 1!}=3.
  • \binom{3}{4}=0.
  • \binom{0}{0}=\frac{0!}{0! \times 0!}=1.
  • \binom{2}{-1}=0.

2) Formule de symétrie

Soit n \in \mathbb{N} et k \in \mathbb{Z}. On a :\binom{n}{k}=\binom{n}{n-k}.

3) Formule de Pascal

Soit n \in \mathbb{N}^* et k \in \mathbb{Z}. On a :\binom{n}{k}=\binom{n-1}{k}+\binom{n-1}{k-1}.

Interprétation triangle de Pascal :

On remplit le tableau de façon que : \operatorname{Case}(n-1, k-1)+\operatorname{case}(n-1, k)=\operatorname{case}(n, k)
Il suffit de connaître la première ligne pour obtenir les lignes suivantes.
Grâce à la formule de Pascal, on obtient toutes les valeurs de \binom{n}{k}.

Corollaire de la formule de Pascal

\forall n \in \mathbb{N}, \forall k \in \mathbb{Z}, \binom{n}{k}\in \mathbb{N}.

4) Formule du binôme de Newton

\forall n \in \mathbb{N}, \forall a, b \in \mathbb{C},(a+b)^{n}=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k} a^{k} b^{n-k}

Soit a, b \in \mathbb{C},(a+b)^{6}=b^{6}++6 a b^{5}+15 a^{2} b^{4}+20 a^{3} b^{3}+15 a^{4} b^{2}+6 a^{5} b+a^{6}

Soit n \in \mathbb{N}^{*}
1) Calculer \sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}
2) Calculer \sum_{k=0}^{n}(-1)^{k}\binom{n}{k}
3) En déduire \sum_{\substack{k \in \llbracket 0, n \rrbracket \\ k \text { pair }}}\binom{n}{k} et \sum_{\substack{k \in \llbracket 0, n \rrbracket \\ k \text { impair }}}\binom{n}{k}