Ce cours est un petit formulaire de trigonométrie conforme au nouveau programme de mathématiques en MPSI et MP2I. Non seulement vous devez apprendre par cœur toutes les formules trigonométriques ci-dessous, mais vous devez aussi savoir les retrouver.
1) Cercle trigonométrique. Paramétrisation par cosinus et sinus.
Dans le plan euclidien, on considère un repère (O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j}) orthonormé.
Le cercle C(O,1) de centre O et de rayon 1 est dit cercle trigonométrique.
Soit M\in C(O,1). On pose \theta=\widehat{(\overrightarrow{i},\overrightarrow{OM})}.
- Si le point M est de coordonnées (x,y), alors x=\cos (\theta) et y=\sin (\theta) .
- On sait que le cercle trigonométrique a x^{2}+y^{2}=1 pour équation cartésienne, on obtient ainsi la formule très importante en trigonométrie \sin ^{2} \theta +\cos ^{2} \theta =1
Cosinus et sinus des angles usuels :
| \theta | 0 | \frac{\pi}{6} | \frac{\pi}{4} | \frac{\pi}{3} | \frac{\pi}{2} |
| \cos (\theta) | 1 | \frac{\sqrt{3}}{2} | \frac{\sqrt{2}}{2} | \frac{1}{2} | 0 |
| \sin (\theta) | 0 | \frac{1}{2} | \frac{\sqrt{2}}{2} | \frac{\sqrt{3}}{2} | 1 |
2) Relation de congruence modulo 2 \pi sur \mathbb{R} .
Soit x,y \in \mathbb{R}. On dit que x et y sont congrus modulo 2 \pi sur \mathbb{R} lorsqu’il existe k \in \mathbb{Z} tel que x=y+2k \pi .
On note dans ce cas x \equiv y [2 \pi ].
On définit de même la relation de congruence modulo un réel sur \mathbb{R} .
Remarque : La relation de congruence modulo un réel sur \mathbb{R} est une relation d’équivalence.
3) Cosinus et sinus de \pi \pm x et \frac{\pi}{2} \pm x .
Pour retrouver ces formules je vous conseil de tracer des figures comme ci-dessous :
4) Les principales formules de trigonométries
Formules d’addition :
Pour tout a, b \in \mathbb{R} on a :
- \quad \cos (a+b)=\cos (a) \cos (b)-\sin (a) \sin (b).
- \quad \cos (a-b)=\cos (a) \cos (b)+\sin (a) \sin (b).
- \quad \sin (a+b)=\sin (a) \cos (b)+\cos (a) \sin (b).
- \quad \sin (a-b)=\sin (a) \cos (b)-\cos (a) \sin (b).
En remplaçant b par a dans les formules d’addition, on obtient les formules dites de duplication :
Formules de duplication :
Pour tout \theta \in \mathbb{R} :
i) \cos (2 \theta)=\cos ^{2}(\theta)-\sin ^{2}(\theta)=2 \cos ^{2}(\theta)-1=1-2 \sin ^{2}(\theta).
ii) \sin (2 \theta)=2 \sin (\theta) \cos (\theta).
En ajoutant ou en retranchant les formules d’addition, on obtient ce qu’on appelle les formules de développement :
Formules de développement :
Pour tout a, b \in \mathbb{R} :
- \quad 2 \cos (a) \cos (b)=\cos (a+b)+\cos (a-b)
- \quad 2 \sin (a) \cos (b)=\sin (a+b)+\sin (a-b)
- \quad 2 \sin (a) \sin (b)=\cos (a-b)-\cos (a+b)
En remplaçant dans les formules de développement a+b (resp. a-b ) par p (resp. q), on obtient ce qu’on appelle les formules de factorisation :
Formules de factorisation :
Pour tout p,q \in \mathbb{R} on a :
- \quad \cos (p)+\cos (q) =2 \cos (\frac {p+q}{2})\cos (\frac {p-q}{2}).
- \quad \cos (p)-\cos (q) =-2 \sin (\frac {p+q}{2})\sin (\frac {p-q}{2}).
- \quad \sin (p)+\sin (q) =2 \sin (\frac {p+q}{2})\cos (\frac {p-q}{2}).
- \quad \sin (p)-\sin (q) =2 \cos (\frac {p+q}{2})\sin (\frac {p-q}{2}).
5) Fonctions circulaires cosinus et sinus
- Les fonctions sinus et cosinus sont dérivables sur \mathbb{R} et on a : \forall x \in \mathbb{R}, \cos ^{\prime}(x)=-\sin (x) et \sin ^{\prime}(x)=\cos (x).
- \forall x \in \mathbb{R},|\sin (x)| \leq|x|.
- La représentation graphique de la courbe de la fonction cos est la suivante :
6) La fonction tangente
Pour tout x \in \mathbb{R} \backslash\left\{\frac{\pi}{2}+k \pi / k \in \mathbb{Z}\right\}, on pose \tan (x)=\frac{\sin (x)}{\cos (x)}.
On définit ainsi une fonction dite fonction tangente, qu’on note tan. La fonction tangente est dérivable sur son ensemble de définition et \forall \in \mathbb{R} \backslash\left\{\frac{\pi}{2}+k \pi / k \in \mathbb{Z}\right\}, \tan ^{\prime}(x)=1+\tan ^{2}(x)=1 / \cos ^{2}(x).
En particulier, pour tout k \in \mathbb{Z}, la fonction tangente est croissante sur ]-\frac{\pi}{2}+k \pi, \frac{\pi}{2}+k \pi[.
Voici la représentation graphique de la fonction tangente :
Tangente des angles usuels :
| \theta | 0 | \frac{\pi}{6} | \frac{\pi}{4} | \frac{\pi}{3} | \frac{\pi}{2} |
| \tan (\theta ) | 0 | \frac{\sqrt {3}}{3} | 1 | \sqrt {3} | non défini |
Tangente de \pi \pm x :
Pour tout \theta \in \mathbb{R} \backslash\left\{\frac{\pi}{2}+k \pi / k \in \mathbb{Z}\right\}, on a :
i) \tan (\pi+\theta)=\tan (\theta)
ii) \tan (\pi-\theta)=-\tan (\theta)
Formules d’addition pour la fonction tangente :
Pour tout a, b \in \mathbb{R} \backslash\left\{\frac{\pi}{2}+k \pi / k \in \mathbb{Z}\right\}, on a :
i) \quad \tan (a+b)=\frac{\tan (a)+\tan (b)}{1-\tan (a) \tan (b)}
ii) \quad \tan (a-b)=\frac{\tan (a)-\tan (b)}{1+\tan (a) \tan (b)}
Formule de duplication pour la fonction tangente :
Pour tout \theta \in \mathbb{R} \backslash\left\{\frac{\pi}{2}+k \pi / k \in \mathbb{Z}\right\}, on a : \tan (2 \theta)=\frac{2 \tan (\theta)}{1-\tan ^{2}(\theta)}.
Les formules de l’angle moitié :
Sous réserve d’existence, on a les formules suivantes :
i) \quad \cos (\theta)=\frac{1-\tan ^{2}\left(\frac{\theta}{2}\right)}{1+\tan ^{2}\left(\frac{\theta}{2}\right)}.
ii) \quad \sin (\theta)=\frac{2 \tan \left(\frac{\theta}{2}\right)}{1+\tan ^{2}\left(\frac{\theta}{2}\right)}.
iii) \quad \tan (\theta)=\frac{2 \tan \left(\frac{\theta}{2}\right)}{1-\tan ^{2}\left(\frac{\theta}{2}\right)}.