On vous propose ci-dessous des exercices sur le chapitre convexité pour les étudiants en prépa MPSI et MP2I.
Soit f une fonction deux fois dérivable sur ] 0,+\infty[ et soit une fonction g définie par :
\forall x \in] 0,+\infty[, g(x)=x f\left( \frac{1}{x} \right).
Montrer que f est convexe si et seulement si g est convexe.
1) Montrer que x \mapsto f(x)=\ln (\ln (x)) est concave sur ] 1,+\infty[.
2) En déduire que \forall a, b>1, \ln \left(\frac{a+b}{2}\right) \geq \sqrt{\ln (a) \ln (b)}.
Soit f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} une fonction convexe et majorée. Montrer que f est constante.
Montrer qu’une fonction convexe sur un intervalle I est continue sur l’intérieur de I.
Soient f et g convexes sur I, que dire de \sup (f, g) et \inf (f, g) ?
f:[0,+\infty[\rightarrow[0,+\infty[ dérivable et concave sur [0,+\infty[.
Montrer que \forall x, y \in[0,+\infty[, f(x+y) \leq f(x)+f(y).
Soit I un intervalle non vide et non réduit un point et f une fonction définie sur I. Montrer que :
f est convexe sur I \Leftrightarrow \forall(x, y, z) \in I^{3},\quad x<y<z \Rightarrow \begin{vmatrix} 1 & x & f(x) \\ 1 & y & f(y) \\ 1 & z & f(z) \end{vmatrix}
Soit I un intervalle ouvert non vide et f une fonction convexe bijective I dans f(I).
1) Montrer que f est strictment monotone sur I.
2) En déduire que f^{-1} est convexe ou concave sur I.
Soient f une fonction convexe sur un intervalle I et g une fonction convexe et croissante sur f(I).
Montrer que g \circ f est convexe sur I.
Soient x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n} des réels strictement positifs.
Montrer que \frac{x_{1}}{x_{2}}+\frac{x_{2}}{x_{3}}+\cdots+\frac{x_{n-1}}{x_{n}}+\frac{x_{n}}{x_{1}} \geq n