Tous ces exercices sont conforme au nouveau programme de prépa des filières MPSI et MP2I. On vous invite à bien maîtriser le cours des nombres complexes avant d’aborder les exercices.
Soit a, b, c trois nombres complexes de module 1. Montrer que |a+b+c|=|a b+b c+a c|
Pour tout n \in \mathbb{N}, on pose z_{n}=\left(\frac{(1+i)^{5}}{(\sqrt{3}-i)^{3}}\right)^{n}. Pour quelles valeurs de n, a-t-on z_{n} \in \mathbb{R}^{+}?
Déterminer les racines quatrièmes de 28-96 i
Résoudre dans \mathbb{C} l’équation \bar{z}=z^{3}
Résoudre dans \mathbb{C} les équations :
1) (z-1)^{6}+(z-1)^{3}+1=0
2) (z+i)^{n}=(z-i)^{n} \quad où n \in \mathbb{N}, n \geq 2
3) 1+\frac{z+i}{z-i}+\left(\frac{z+i}{z-i}\right)^{2}+\left(\frac{z+i}{z-i}\right)^{3}=0
Soit \in \mathbb{N}, n \geq 2. Résoudre dans \mathbb{C} l^{\prime} équation 1+2 z+2 z^{2}+\cdots+2 z^{n-1}+z^{n}=0.
On pose z=\frac{\sqrt{3}-i}{1-i}. Ecrire z^{65} sous forme algébrique.
On pose \omega=e^{\frac{2 i \pi}{7}} et X=\omega+\omega^{2}+\omega^{4} et Y=\omega^{3}+\omega^{5}+\omega^{6}.
1) Montrer que Y=\bar{X} et que \operatorname{Im} X>0.
2) Calculer X+Y et X Y. En déduire X et Y.
3) Exprimer \operatorname{Re} X en fonction de \cos \frac{2 \pi}{7}.
4) En déduire que \cos \frac{2 \pi}{7} est une racine du polynôme 8 X^{3}+4 X^{2}-4 X-1.
Soit \in \mathbb{N}, n \geq 2. Calculer le produit des éléments de \mathbb{U}_{n}.
Soient n \in \mathbb{N} et \theta \in \mathbb{R} \backslash 2 \pi \mathbb{Z}.
1) Montrer que : \sum_{k=0}^{n} e^{i k \theta}=e^{i n \frac{\theta}{2}} \frac{\sin (n+1) \frac{\theta}{2}}{\sin \frac{\theta}{2}}
2) En déduire : \sum_{k=0}^{n} \cos (k \theta) et \sum_{k=0}^{n} \sin (k \theta).
3) En déduire : \sum_{k=0}^{n} k \sin (k \theta)
Soit x \in \mathbb{R} et n \in \mathbb{N}.On pose A_{n}=\sum_{k=0}^{n}\left(\begin{array}{l}n \\ k\end{array}\right) \sin (k x). Calculer A_{n}.
1) Montrer que \forall z, z^{\prime} \in \mathbb{C},|z|+\left|z^{\prime}\right| \leq\left|z+z^{\prime}\right|+\left|z-z^{\prime}\right|
2) Étudier le cas d’égalité.
Résoudre dans \mathbb{C} le système \begin{cases}|z-1| \leq 1 \\ |z+1| \leq 1\end{cases}
Soit x, y, z \in \mathbb{R} avec e^{i x}+e^{i y}+e^{i z}=0.
1) Montrer que e^{i(y-x)} est solution de l’équation 1+z+z^{2}=0.
2) En déduire que e^{i 2 x}+e^{i 2 y}+e^{i 2 z}=0.
Résoudre dans \mathbb{C} l’équation e^{i x}+e^{i y}+e^{i z}=0.
1) Montrer que \forall z, z^{\prime} \in \mathbb{C}, 2\left(|z|^{2}+\left|z^{\prime}\right|^{2}\right)=\left|z+z^{\prime}\right|^{2}+\left|z-z^{\prime}\right|^{2}.
2) Interpréter géométriquement ce résultat.
Soit \mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C} trois points du plan complexe d’affixes respectifs a, b, c.
1) Montrer que le triangle A B C est équilatéral direct si et seulement si a+j b+j^{2} c=0.
2) Montrer que le triangle \mathrm{ABC} est équilatéral si et seulement si a^{2}+b^{2}+c^{2}-(a b+a c+b c)=0.
Montrer que les images des racines n-ièmes de l’unité sont les sommets d’un polygone régulier à n-côtés inscrit dans le cercle unité.
Montrer que \forall n \in \mathbb{N}^{*}, \forall\left(z_{1}, \ldots, z_{n}\right) \in\left(\mathbb{C}^{*}\right)^{n}, \quad\left|\sum_{k=1}^{n} z_{k}\right|=\sum_{k=1}^{n}\left|z_{k}\right| \Leftrightarrow \forall k \in \llbracket 1, n \rrbracket, \arg \left(z_{k}\right)=\arg \left(z_{1}\right)[2 \pi]
Soit n \in \mathbb{N}^{*}. On considère le polynôme P=\sum_{l=0}^{n-1} a_{l} X^{l} où les a_{l} \in \mathbb{C}.
Pour tout k \in \llbracket 0 ; n-1 \rrbracket on pose \omega_{k}=e^{\frac{2 i k \pi}{n}}.
On pose M=\underset{k \in \llbracket 0 ; n-1 \rrbracket}{max} \left|P\left(\omega_{k}\right)\right|=\underset{z \in \mathbb{U}_{n}}{max} |P(z)|
1) Pour tout j \in \llbracket 0 ; n-1 \rrbracket, calculer \sum_{k=0}^{n-1} \omega_{k}^{-j} P\left(\omega_{k}\right)
2) En déduire que \forall j \in \llbracket 0 ; n-1 \rrbracket,\left|a_{j}\right| \leq M.