Étudier la limite de la suite de terme général : u_{n}=\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{n^{2}+k^{2}}
Étudier la nature de la suite \left(u_{n}\right) définie par u_{0} \in \mathbb{R} et \forall n \in \mathbb{N}, u_{n+1}=e^{u_{n}}-1.
1) Montrer que pour tout réel x, la suite \left(u_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}^{*}} définie pour tout n \in \mathbb{N}^{*} par u_{n}=\frac{2}{n^{2}} \sum_{k=1}^{n}\lfloor k x\rfloor converge vers x.
2) En déduire que \mathbb{Q} est dense dans \mathbb{R}.
Soit A=\{ \frac{x}{|x| x]]} / x \in[1,+\infty[ \} .
1) Montrer que A est bornée.
2) Déterminer la borne supérieure et la borne inférieure de A.
On considère le suites \left(u_{n}\right) et \left(v_{n}\right) définies pour tout n \in \mathbb{N}^{*} par u_{n}=\sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k !} et v_{n}=u_{n}+\frac{1}{n ! n}.
1) Montrer que \left(u_{n}\right) et \left(v_{n}\right) convergent vers la même limite qu’on va noter e.
2) En déduire que e \notin \mathbb{Q}.
1) Soit \left(u_{n}\right) une suite réelle à termes strictement positifs. On suppose que \frac{u_{n+1}}{u_{n}} \underset {n\rightarrow +\infty}{\longrightarrow l} où \left.l \in\right] 1,+\infty[ .
1-a) Montrer que \lim u_{n}=+\infty.
1-b) En déduire la limite de la suite \left(\frac{n^{n}}{n !}\right).
2) Soit \left(v_{n}\right) une suite réelle à termes non nuls. On suppose que \frac{v_{n+1}}{v_{n}} \underset{n \rightarrow+\infty}{\longrightarrow} l^{\prime} où \left.l^{\prime} \in\right]-1,1[ .
2-a) Montrer que \lim v_{n}=0.
2-b) Soit a \in \mathbb{R}. En déduire la limite de la suite \left(\frac{a^{n}}{n !}\right).
3) Soit \left(w_{n}\right) une suite réelle à termes non nuls. On suppose que \frac{w_{n+1}}{w_{n}} \rightarrow 1.
Peut-on déduire la nature de la suite \left(w_{n}\right) ?
Soit \left(u_{n}\right) une suite complexe telle que \lim \left|u_{n}\right|=+\infty.
A-t-on forcément \lim \left|\operatorname{Re}\left(u_{n}\right)\right|=+\infty ou \lim \left|\operatorname{Im}\left(u_{n}\right)\right|=+\infty ?
On considère la suite \left(H_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}^{*}}, dite suite harmonique, définie pour tout n \in \mathbb{N}^{*}, par H_{n}=\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k}.
1-a) Montrer que \forall n \in \mathbb{N}^{*}, H_{2 n}-H_{n} \geq \frac{1}{2}.
b) En déduire que \underset {n \rightarrow+\infty}{\lim} H_{n}=+\infty
2) Prouver l’inégalité \forall t \in]-1,+\infty[, \ln (1+t) \leq t.
3-a) On introduit les suites \left(u_{n}\right) et \left(v_{n}\right) définies pour tout n \in \mathbb{N}^{*} par : u_{n}=H_{n}-\ln (n+1) et v_{n}=H_{n}-\ln n.
Montrer que \left(u_{n}\right) et \left(v_{n}\right) sont adjacentes.
b) En déduire qu’il existe un réel \gamma \in] 0,1[ tel que \left(H_{n}-\ln n\right) converge vers \gamma.
On considère l’ensemble A=\left\{\frac{\lfloor n \sqrt{2}\rfloor}{n} / n \in \mathbb{N}^{*}\right\}
1-a) Montrer que A est minorée par 1
1-b) En déduire \inf A.
2-a) Montrer que \forall n \in \mathbb{N}^{*}, \sqrt{2}-\frac{1}{n}<\frac{\lfloor n \sqrt{2} \mid}{n} \leq \sqrt{2}.
2-b) Justifier que A admet une borne supérieure.
2-c) Déterminer \sup A.
2-d) A admet-elle un plus grand élément ?
Soient a et b deux réels strictement positifs avec a \leq b.
On considère les suites \left(a_{n}\right) et \left(b_{n}\right) définies par : \forall n \in \mathbb{N}, a_{n+1}=\sqrt{a_{n} b_{n}} et b_{n+1}=\frac{a_{n}+b_{n}}{2} et les conditions initiales : a_{0}=a et b_{0}=b.
1) Vérifier que \forall n \in \mathbb{N}, 0<a_{n} \leq b_{n}.
2-a) Montrer que \left(a_{n}\right) est croissante et que \left(b_{n}\right) est décroissante.
2-b) En déduire que \left(a_{n}\right) converge vers un réel l et que \left(b_{n}\right) converge vers un réel l'.
c) Montrer que l=l'.
d) Montrer que l>0.
On considère la suite \left(d_{n}\right) définie par \forall n \in \mathbb{N}, d_{n}=\sqrt{b_{n}}-\sqrt{a_{n}}.
3-a) Montrer que \forall n \in \mathbb{N}, d_{n+1}^{2} \leq b_{n+1}-a_{n+1}.
3-b) En déduire que \forall n \in \mathbb{N}, d_{n} \leq\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{n} d_{0}.
3-c) En déduire la limite de la suite \left(d_{n}\right).
Soit A une partie non vide et bornée de \mathbb{R}. Montrer que \underset{(x,y)\in A^{2}}{\sup} |x-y|=\sup (A)-\inf (A)
Déterminer le terme général de la suite \left(u_{n}\right) dans les cas suivant :
1) u_{0}=1, u_{1}=0 et \forall n \in \mathbb{N}, u_{n+2}=u_{n+1}-2 u_{n}.
2) u_{0}=i et \forall n \in \mathbb{N}, u_{n+1}=2 u_{n}+3.
3) u_{0}=1, u_{1}=0 et \forall n \in \mathbb{N}, u_{n+2}=2 i u_{n+1}+u_{n}.